已知A是三阶矩阵，αi（i=1，2，3）是三维非零列向量，令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi（i=1，2，3），证明：α，Aα，A2α线性无关。

admin2017-12-29 42

问题已知A是三阶矩阵，α_i（i=1，2，3）是三维非零列向量，令α=α₁+α₂+α₃。若Aα_i=iα_i（i=1，2，3），证明：α，Aα，A²α线性无关。

选项

答案由Aα_i=iα_i（i=1，2，3），且α_i（i=1，2，3）非零可知，α₁，α₂，α₃是矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故α₁，α₂，α₃线性无关。又 Aα=α₁+2α₂+3α₃，A²α=α₁+4α₂+9α₃，所以（α，Aα，A²α）=（α₁，α₂，α₃）[*]=（α₁，α₂，α₃）P，而矩阵P是范德蒙德行列式，故|P|=2≠0，所以α，Aα，A²α线性无关。

解析

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