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设xOy平面第一象限中有曲线F:y=),(x),过点A(0,),y’(x)>0.又M(x,y)为F上任意一点,满足:弧段的长度与点M处F的切线在x轴上的截距之差为. 导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件;
设xOy平面第一象限中有曲线F:y=),(x),过点A(0,),y’(x)>0.又M(x,y)为F上任意一点,满足:弧段的长度与点M处F的切线在x轴上的截距之差为. 导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件;
admin
2014-02-06
55
问题
设xOy平面第一象限中有曲线F:y=),(x),过点A(0,
),y
’
(x)>0.又M(x,y)为F上任意一点,满足:弧段
的长度与点M处F的切线在x轴上的截距之差为
.
导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件;
选项
答案
先求出F在点M(x,y)处的切线方程Y—y(x)=y
’
(x)(X一x),其中(X,Y)是切线上点的坐标.在切线方程中令Y=0,得x轴上的截距[*]又弧段[*]的长度为[*],按题意得[*]①这是积分、微分方程,两边对x求导,就可转化为二阶微分方程:[*]又由条件及①式中令x=0得[*]因此得初值问题[*]②问题①与②是等价的.
解析
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考研数学一
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