设有二阶线性微分方程 (Ⅰ)作自变量替换x=,把方程变换成y关于t的微分方程. (Ⅱ)求原方程的通解.

admin2019-04-22  46

问题 设有二阶线性微分方程

(Ⅰ)作自变量替换x=,把方程变换成y关于t的微分方程.
(Ⅱ)求原方程的通解.

选项

答案(Ⅰ)先求 [*] 再将①求导,得 [*] 将②,③代入原方程得 [*] (Ⅱ)题(Ⅰ)已把原方程转化为④,故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程,它的相应特征方程λ2+2λ+1=0,有重根λ=-1.非齐次方程可设特解y*=Asint+Bcost,代入④得 -(Asint+Bcost)+2(Acost-Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint 即 Acost-Bsint=sint 比较系数得A=0,B=-1,即y*(t)=-cost.因此④的通解为 y=(c1+c2t)e-t-cost 原方程的通解为 y=(c1+c2arcsinx)e-arcsinx-[*],c1,c2为[*]常数. 其中t=arcsinx,cost=[*]

解析
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