设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积;

admin2018-01-30  111

问题 设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。
试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积;

选项

答案本题可转化为证明x0,f(x0)=∫x01f(x)dx。令φ(x)=一x∫x1f(t)dt,则φ(x)在闭区间[0,1]上是连续的,在开区间(0,1)上是可导的,又因为φ(0)=φ(1)=0,根据罗尔定理可知,存在x0∈(0,1),使得φ(x0)=0,即 φ(x0)=x0f(x0)一∫x01f(t)dt=0。 也就是x0f(x0)=∫x01f(x)dx。

解析
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