2. 考研
  3. 某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总收益函数为R(x，y)=42x+27y-4x2-2xy-2，总成本函数为C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)．除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1万

某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总收益函数为R(x，y)=42x+27y-4x2-2xy-2，总成本函数为C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)．除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1万

admin2016-10-20  36
问题 某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总收益函数为R(x，y)=42x+27y-4x2-2xy-2，总成本函数为C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)．除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1万元．
    (Ⅰ)在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少?
    (Ⅱ)当限制排污费用支出总额为8万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?
选项
答案(Ⅰ)根据题设知该厂生产这两种产品的总利润函数 L(x，y)=R(x，y)-C(x，y)-2x-y =42x+27y-4x2-2xy-y2-36-8x-1y-2x-y =32x+14y-4x2-2xy-y2-36， 求L(x，y)的驻点：令 [*] 可解得唯一驻点(3，4)． 因L(x，y)的驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，在不限制排污费用支出的情况下，当甲、乙两种产品的产量分别为x=3(吨)与y=4(吨)时总利润L(x，y)取得最大值且maxL=L(3，4)=40(万元)． (Ⅱ)当限制排污费用支出总额为8万元的条件时应求总利润函数L(x，y)在约束条件2x+y=8即2x+y-8=0下的条件最大值．可用拉格朗日乘数法，为此引入拉格朗日函数 F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(2x+y-8)， 为求F(x，y，λ)的驻点，令 [*] 由①，②两式消去参数λ可得2x-y-2=0，与③联立可得唯一驻点(2．5，3)． 因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，当排污费用限于8万元的条件下，甲、乙两种产品的产量分别为x=2．5(吨)与y=3(吨)时总利润取得最大值，最大利润maxL=L(2．5，3)=37(万元)．
解析
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考研数学三

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