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  3. 设数列{xn}满足x1＞0，xn+1=sinxn，n=1，2，…。 证明xn存在；

设数列{xn}满足x1＞0，xn+1=sinxn，n=1，2，…。 证明xn存在；

admin2017-01-16  48
问题 设数列{xn}满足x1＞0，xn+1=sinxn，n=1，2，…。
证明xn存在；
选项
答案由于x1＞0，且-1≤sinx≤1，所以-1≤x2=sinx1≤1。由数学归纳法可知对一切的n=2，3，…，有-1≤xn≤1，则|xn|≤1，即数列{|xn|}有界。 又因为|xn+1|=|sinxn|＜|xn|，所以数列{|xn|}单调递减且有界。 由单调有界准则可知，[*]|xn|存在。设该极限为a，对|xn+1|=|sinxn|两边取极限，得a=sina，显然a=0，即[*]|xn|=0，所以[*]xn=0。
解析
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考研数学一

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