设函数f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,在(0,1)内二阶可导且f"(x)<0,记M=max>0. 证明对任意正整数n,存在唯一的xn∈(0,1)。使得f’(xn)=M/N;

admin2021-04-07  24

问题 设函数f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,在(0,1)内二阶可导且f"(x)<0,记M=max>0.
证明对任意正整数n,存在唯一的xn∈(0,1)。使得f’(xn)=M/N;

选项

答案记x0为[0,1]上f(x)的最大值点,又f(0)=f(1)=0,则M=f(x0)>0,x0∈(0,1),且由费马定理,有f’(x0)=0,在[0,x0]上对f(x)应用拉格朗日中值定理,得 [*] 对任意正整数n,0<M/n<M/x0,即f’(x0)<M/n<f’(ξ),又由于f’(x)在[ξ,x0]上连续,故由介值定理,存在xn∈(ξ,x0)[*](0,1),使得f’(xn)=M/n,又f"(x)<0,f’(x)严格单调减少,故xn唯一。

解析
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