2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，1]上连续且f(0)＝f(1)＝0，在(0，1)内二阶可导且f"(x)＜0，记M＝max＞0． 证明对任意正整数n，存在唯一的xn∈(0，1)。使得f’(xn)＝M／N；

设函数f(x)在[0，1]上连续且f(0)＝f(1)＝0，在(0，1)内二阶可导且f"(x)＜0，记M＝max＞0． 证明对任意正整数n，存在唯一的xn∈(0，1)。使得f’(xn)＝M／N；

admin2021-04-07  23
问题 设函数f(x)在[0，1]上连续且f(0)＝f(1)＝0，在(0，1)内二阶可导且f"(x)＜0，记M＝max＞0．
证明对任意正整数n，存在唯一的xn∈(0，1)。使得f’(xn)＝M／N；
选项
答案记x0为[0，1]上f(x)的最大值点，又f(0)＝f(1)＝0，则M＝f(x0)＞0，x0∈(0，1)，且由费马定理，有f’(x0)＝0，在[0，x0]上对f(x)应用拉格朗日中值定理，得 [*] 对任意正整数n，0＜M／n＜M／x0，即f’(x0)＜M／n＜f’(ξ)，又由于f’(x)在[ξ，x0]上连续，故由介值定理，存在xn∈(ξ，x0)[*](0，1)，使得f’(xn)＝M／n，又f"(x)＜0，f’(x)严格单调减少，故xn唯一。
解析
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考研数学二

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