(2004年试题,三)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比

admin2019-03-07  37

问题 (2004年试题,三)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0×106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注kg表示千克,km/h表示千米/小时.

选项

答案由题设,设飞机质量为m=9000(kg),着陆时的水平速度为v0=700(km/h),并设从着陆点开始时的t时刻,飞机滑行距离为x(t),速度为v(t),则[*]由牛顿第二定律知[*]关于(1),由[*]则[*].即dx=[*]积分上式得[*]由初始条件,当t=0时,x(0)=0,v(0)=v0,知[*]所以[*]令v=0,可解得[*]即飞机滑行的最长距离为1.05km.关于(2),即[*]分离变量得[*]积分上式得[*]同样由初始条件v(0)=v0可解出C2=v0,所以[*]从而[*]即得到同样结果.

解析 方程(1)实际上是一个二阶常系数线性齐次微分方程,即mx’’+kx=0,相应特征方程为可解得特征根为λ1=0,λ2=则通解为由初始条件x(0)=0,v(0)=v0,得C3=一C4=所以当t→+∞时,同样可得出飞机滑行的最长距离为1.05km.
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