(2003年)曲面z=z2+y2与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是_____________。

admin2018-03-11 33

问题 (2003年)曲面z=z²+y²与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是_____________。

选项

答案2x+4y—z=5

解析令F(x，y，z)=z—x²一y²，则F′_x=一2x，F′_y=一2y，F′_z=1。
设切点坐标为(x₀，y₀，z₀)，则切平面的法向量为{一2x₀，一2y₀，1}，已知其与平面2x+4y—z=0平行，因此有

可解得x₀=1，y₀=2，相应地有z₀=x₀²+y₀²=5。
故所求的切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z一5)=0，即2x+4y—z=5。

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