已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

admin2018-03-26 75

问题已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数．
(I)当f(x)=x时，求微分方程的通解．
(Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

选项

答案(I)通解y(x)=e^-∫1dx(∫xe^∫1dxdx+C)=e^-x(∫xe^xdx+C) =e^-x[(x一1)e^x+C] =(x一1)+Ce^-x． (Ⅱ)证明：设f(x+T)=f(x)，即T是f(x)的周期．通解y(x)=e^-∫1dx[∫f(x)e^∫1dxdx+C]=e^-x[∫f(x)e^xdx+C]=e^-x∫f(x)e^xdx+Ce^-x．设y(x)=e^-x∫_T^xf(x)e^xdx+Ce^-x，则有 y(x+T)=e^-(x+T)∫_T^x+Tf(t)e^tdt+Ce^-(x+T) [*]e^-(x+T)∫₀^xf(u+T)e^u+Td(u+T)+(Ce^-T).e^-x =e^-(x+T)∫₀^xf(u)e^u.e^Tdu+(Ce^-T).e^-x =e^-x∫₀^xf(u)e^udu+(Ce^-T).e^-x，即y(x+T)依旧是方程的通解，结论得证．

解析

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考研数学一

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已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

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