已知微分方程y’+y=f(x),且f(x)是R上的连续函数. (I)当f(x)=x时,求微分方程的通解. (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数,证明:微分方程存在唯一以T为周期的解.

admin2018-03-26  24

问题 已知微分方程y’+y=f(x),且f(x)是R上的连续函数.
(I)当f(x)=x时,求微分方程的通解.
(Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数,证明:微分方程存在唯一以T为周期的解.

选项

答案(I)通解y(x)=e-∫1dx(∫xe∫1dxdx+C)=e-x(∫xexdx+C) =e-x[(x一1)ex+C] =(x一1)+Ce-x. (Ⅱ)证明:设f(x+T)=f(x),即T是f(x)的周期. 通解y(x)=e-∫1dx[∫f(x)e∫1dxdx+C]=e-x[∫f(x)exdx+C]=e-x∫f(x)exdx+Ce-x. 设y(x)=e-xTxf(x)exdx+Ce-x,则有 y(x+T)=e-(x+T)Tx+Tf(t)etdt+Ce-(x+T) [*]e-(x+T)0xf(u+T)eu+Td(u+T)+(Ce-T).e-x =e-(x+T)0xf(u)eu.eTdu+(Ce-T).e-x =e-x0xf(u)eudu+(Ce-T).e-x, 即y(x+T)依旧是方程的通解,结论得证.

解析
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