已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

admin2018-03-26 50

问题已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数．
(I)当f(x)=x时，求微分方程的通解．
(Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

选项

答案(I)通解y(x)=e^-∫1dx(∫xe^∫1dxdx+C)=e^-x(∫xe^xdx+C) =e^-x[(x一1)e^x+C] =(x一1)+Ce^-x． (Ⅱ)证明：设f(x+T)=f(x)，即T是f(x)的周期．通解y(x)=e^-∫1dx[∫f(x)e^∫1dxdx+C]=e^-x[∫f(x)e^xdx+C]=e^-x∫f(x)e^xdx+Ce^-x．设y(x)=e^-x∫_T^xf(x)e^xdx+Ce^-x，则有 y(x+T)=e^-(x+T)∫_T^x+Tf(t)e^tdt+Ce^-(x+T) [*]e^-(x+T)∫₀^xf(u+T)e^u+Td(u+T)+(Ce^-T).e^-x =e^-(x+T)∫₀^xf(u)e^u.e^Tdu+(Ce^-T).e^-x =e^-x∫₀^xf(u)e^udu+(Ce^-T).e^-x，即y(x+T)依旧是方程的通解，结论得证．

解析

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考研数学一

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已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

考研数学一

假设随机变量X服从参数为λ的指数分布，求随机变量Y=1一e-λX的概率密度函数fY(y)．

已知A是n阶矩阵，α1,α2……αs是n维线性无关向量组，若Aα1,Aα2……Aαs线性相关．证明：A不可逆．

已知向量组与向量组等秩，则x=___________．

利用变换y=f(ex)求微分方程y’’一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．

设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值x1，x2是分别属于λ1和λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．

设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=

用非退化(可逆)的线性变换化二次型f(x1，x2，x3)＝－4x1x2＋2x1x3＋2x2x3为标准形，并求此非退化的线性变换。

计算曲面积分4zxdydz－2zydzdx＋(1－z2)dxdy，其中S为z＝ey(0≤y≤a)绕z轴旋转成的曲面下侧。

设3阶矩阵A与B相似，λ1=1，λ2=-2是矩阵A的两个特征值，且矩阵B的行列式｜B｜=1，则行列式｜A*+E｜=________．

设三阶方阵A、B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则行列式｜B｜=________．

试述太平天国农民战争的意义。

阅读《答李翊书》中的一段文字，然后回答问题。气，水也；言，浮物也。水大而物之浮者大小毕浮。气之与言犹是也，气盛则言之短长与声之高下者皆宜。……“气”和“言”指的是什么?

关于犯罪嫌疑人、被告人逃匿、死亡案件违法所得的没收程序，下列哪一说法是正确的?(2012年试卷2第38题)

以下对爆破作业描述不正确的是()。(1)雷雨季节宜采用电雷管起爆法起爆。(2)炸药反应不完全时，不会引起有毒气体含量增加。(3)同一爆破网络应使用同厂、同批、同型号的电雷管。(4)处理盲炮时进行安全警戒。

行业的成长实际上是指(　　)。

企业会计方法和程序前后各期(　　)。

根据《企业所得税法》及其实施条例的有关规定，不得提取折旧的固定资产是()。

出境旅游领队带领旅游团入中国境的服务包括()

(2015·河南)既是课程标准的具体化，也是师生进行教学的主要依据的是教科书。()

已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

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已知A是n阶矩阵，α1,α2……αs是n维线性无关向量组，若Aα1,Aα2……Aαs线性相关．证明：A不可逆．

已知向量组与向量组等秩，则x=___________．

利用变换y=f(ex)求微分方程y’’一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．

设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值x1，x2是分别属于λ1和λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．

设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=

用非退化(可逆)的线性变换化二次型f(x1，x2，x3)＝－4x1x2＋2x1x3＋2x2x3为标准形，并求此非退化的线性变换。

计算曲面积分4zxdydz－2zydzdx＋(1－z2)dxdy，其中S为z＝ey(0≤y≤a)绕z轴旋转成的曲面下侧。

设3阶矩阵A与B相似，λ1=1，λ2=-2是矩阵A的两个特征值，且矩阵B的行列式｜B｜=1，则行列式｜A*+E｜=________．

设三阶方阵A、B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则行列式｜B｜=________．

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关于犯罪嫌疑人、被告人逃匿、死亡案件违法所得的没收程序，下列哪一说法是正确的?(2012年试卷2第38题)

以下对爆破作业描述不正确的是()。(1)雷雨季节宜采用电雷管起爆法起爆。(2)炸药反应不完全时，不会引起有毒气体含量增加。(3)同一爆破网络应使用同厂、同批、同型号的电雷管。(4)处理盲炮时进行安全警戒。

行业的成长实际上是指( )。

企业会计方法和程序前后各期( )。

根据《企业所得税法》及其实施条例的有关规定，不得提取折旧的固定资产是()。

出境旅游领队带领旅游团入中国境的服务包括()

(2015·河南)既是课程标准的具体化，也是师生进行教学的主要依据的是教科书。()

行业的成长实际上是指(　　)。

企业会计方法和程序前后各期(　　)。