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设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f′(x)≤0.证明函数F(x)=f(t)dt在(a,b)内也有F′(x)≤0.
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f′(x)≤0.证明函数F(x)=f(t)dt在(a,b)内也有F′(x)≤0.
admin
2016-11-03
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问题
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f′(x)≤0.证明函数F(x)=
f(t)dt在(a,b)内也有F′(x)≤0.
选项
答案
由f(t)在[a,b]上连续,故[*]f(t)dt在区间[a,b]内可导,于是 F′(x)=[*]f(t)dt]. 由定积分中值定理得 [*]f(t)dt=f(ξ)(x一a), 其中ξ在[a,x]上,于是 [*] 由于f′(x)≤0,故f(x)单调下降,所以f(x)≤f(ξ).又a<x,故F′(x)≤0.
解析
为证F′(x)≤0,必须利用f′(x)≤0的条件,为此必须要去掉积分号.对F(x)求导后,如还剩有积分号,这时常用积分中值定理去掉.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AHu4777K
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考研数学一
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