2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x)≤0．证明函数F(x)=f(t)dt在(a，b)内也有F′(x)≤0．

设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x)≤0．证明函数F(x)=f(t)dt在(a，b)内也有F′(x)≤0．

admin2016-11-03  40
问题 设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x)≤0．证明函数F(x)=f(t)dt在(a，b)内也有F′(x)≤0．
选项
答案由f(t)在[a，b]上连续，故[*]f(t)dt在区间[a，b]内可导，于是 F′(x)=[*]f(t)dt]． 由定积分中值定理得 [*]f(t)dt=f(ξ)(x一a)， 其中ξ在[a，x]上，于是 [*] 由于f′(x)≤0，故f(x)单调下降，所以f(x)≤f(ξ)．又a＜x，故F′(x)≤0．
解析 为证F′(x)≤0，必须利用f′(x)≤0的条件，为此必须要去掉积分号．对F(x)求导后，如还剩有积分号，这时常用积分中值定理去掉．
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考研数学一

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