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在球面x2+y2+z2=5R2(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=ln x+ln y+3ln z的最大值,并利用所得结果证明不等式(a>0,b>0,c>0).
在球面x2+y2+z2=5R2(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=ln x+ln y+3ln z的最大值,并利用所得结果证明不等式(a>0,b>0,c>0).
admin
2018-09-20
30
问题
在球面x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=ln x+ln y+3ln z的最大值,并利用所得结果证明不等式
(a>0,b>0,c>0).
选项
答案
作拉格朗日函数 L(x,y,z,λ)=ln x+ln y+3ln z+λ(x
2
+y
2
+z
2
一5R
2
), 并令 [*] 由前3式得x
2
=y
2
=[*],代入第4式得可疑点[*],因xyz
3
在有界闭集x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x≥0,y≥0,z≥0)上必有最大值,且最大值必在x>0,y>0,z>0取得,故f(x,y,z)=ln(xyz
3
) 在x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
上也有最大值,而[*]是唯一可疑点,故最大值为[*] 又ln x+ln y+3ln z≤[*]故x
2
y
2
z
6
≤27R
10
.令x
2
=a,y
2
=b,z
2
=c, 又知x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
,则abc
3
≤[*](a>0,b>0,c>0).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AJW4777K
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考研数学三
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