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  3. 设A为3阶矩阵，p1，p2，p3是线性无关的3维列向量，且满足Ap1＝p1＋p2＋p3，Ap2＝2p2＋p3，Ap2＝2p2＋3p3．(1)求矩阵B使得A(p1，p2，p3)＝(p1，p2，p3)B；(2)求矩阵A的特征值；(3)求可逆矩阵P，使得P﹣1A

设A为3阶矩阵，p1，p2，p3是线性无关的3维列向量，且满足Ap1＝p1＋p2＋p3，Ap2＝2p2＋p3，Ap2＝2p2＋3p3．(1)求矩阵B使得A(p1，p2，p3)＝(p1，p2，p3)B；(2)求矩阵A的特征值；(3)求可逆矩阵P，使得P﹣1A

admin2020-06-05  23
问题 设A为3阶矩阵，p1，p2，p3是线性无关的3维列向量，且满足Ap1＝p1＋p2＋p3，Ap2＝2p2＋p3，Ap2＝2p2＋3p3．(1)求矩阵B使得A(p1，p2，p3)＝(p1，p2，p3)B；(2)求矩阵A的特征值；(3)求可逆矩阵P，使得P﹣1AP为对角矩阵．
选项
答案(1)根据已知条件，有 A(p1，p2，p3)＝(Ap1，Ap2，Ap3) ＝(p1＋p2＋p3，2p2＋p3，2p2＋3p3) ＝(p1，p3，p3)[*] 于是所求矩阵 B＝[*] (2)因为p1，p2，p3线性无关，矩阵P1＝(p1，p2，p3)可逆，所以P1﹣1AP1＝B，进而A与B相似，也就是说A与B具有相同的特征值．又矩阵B的特征多项式 ｜B－2E｜＝[*] ＝﹣(λ－1)2(λ－4) 得矩阵B的特征值是1，1，4，因此矩阵A的特征值也是1，1，4． (3)对矩阵B，当λ1＝λ2＝1，解方程(B－E)x＝0．由 B－E＝[*] 得基础解系q1＝(﹣1，1，0)T，q2＝(﹣2，0，1)T． 当λ3＝4时，解方程(B－4E)x＝0．由 B－4E＝[*] 得基础解系q3＝(0，1，1)T． 若令Q＝(q1，q2，q3)，则有Q﹣1BQ＝[*]＝diag(1，1，4)，结合矩阵A于B的关系可得 Q﹣1P1﹣1AP1Q＝[*]＝diag(1，1，4)．故当 P＝P1Q＝(p1，p2，p3)[*] ＝(﹣p1＋p2，﹣2p1＋p3，p2＋p3) 时，P﹣1AP＝[*]
解析
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考研数学一

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