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设A为3阶矩阵,p1,p2,p3是线性无关的3维列向量,且满足Ap1=p1+p2+p3,Ap2=2p2+p3,Ap2=2p2+3p3.(1)求矩阵B使得A(p1,p2,p3)=(p1,p2,p3)B;(2)求矩阵A的特征值;(3)求可逆矩阵P,使得P﹣1A
设A为3阶矩阵,p1,p2,p3是线性无关的3维列向量,且满足Ap1=p1+p2+p3,Ap2=2p2+p3,Ap2=2p2+3p3.(1)求矩阵B使得A(p1,p2,p3)=(p1,p2,p3)B;(2)求矩阵A的特征值;(3)求可逆矩阵P,使得P﹣1A
admin
2020-06-05
28
问题
设A为3阶矩阵,p
1
,p
2
,p
3
是线性无关的3维列向量,且满足Ap
1
=p
1
+p
2
+p
3
,Ap
2
=2p
2
+p
3
,Ap
2
=2p
2
+3p
3
.(1)求矩阵B使得A(p
1
,p
2
,p
3
)=(p
1
,p
2
,p
3
)B;(2)求矩阵A的特征值;(3)求可逆矩阵P,使得P
﹣1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(1)根据已知条件,有 A(p
1
,p
2
,p
3
)=(Ap
1
,Ap
2
,Ap
3
) =(p
1
+p
2
+p
3
,2p
2
+p
3
,2p
2
+3p
3
) =(p
1
,p
3
,p
3
)[*] 于是所求矩阵 B=[*] (2)因为p
1
,p
2
,p
3
线性无关,矩阵P
1
=(p
1
,p
2
,p
3
)可逆,所以P
1
﹣1
AP
1
=B,进而A与B相似,也就是说A与B具有相同的特征值.又矩阵B的特征多项式 |B-2E|=[*] =﹣(λ-1)
2
(λ-4) 得矩阵B的特征值是1,1,4,因此矩阵A的特征值也是1,1,4. (3)对矩阵B,当λ
1
=λ
2
=1,解方程(B-E)x=0.由 B-E=[*] 得基础解系q
1
=(﹣1,1,0)
T
,q
2
=(﹣2,0,1)
T
. 当λ
3
=4时,解方程(B-4E)x=0.由 B-4E=[*] 得基础解系q
3
=(0,1,1)
T
. 若令Q=(q
1
,q
2
,q
3
),则有Q
﹣1
BQ=[*]=diag(1,1,4),结合矩阵A于B的关系可得 Q
﹣1
P
1
﹣1
AP
1
Q=[*]=diag(1,1,4).故当 P=P
1
Q=(p
1
,p
2
,p
3
)[*] =(﹣p
1
+p
2
,﹣2p
1
+p
3
,p
2
+p
3
) 时,P
﹣1
AP=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ANv4777K
0
考研数学一
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