设A为3阶矩阵，p1，p2，p3是线性无关的3维列向量，且满足Ap1＝p1＋p2＋p3，Ap2＝2p2＋p3，Ap2＝2p2＋3p3．(1)求矩阵B使得A(p1，p2，p3)＝(p1，p2，p3)B；(2)求矩阵A的特征值；(3)求可逆矩阵P，使得P﹣1A

admin2020-06-05 18

问题设A为3阶矩阵，p₁，p₂，p₃是线性无关的3维列向量，且满足Ap₁＝p₁＋p₂＋p₃，Ap₂＝2p₂＋p₃，Ap₂＝2p₂＋3p₃．(1)求矩阵B使得A(p₁，p₂，p₃)＝(p₁，p₂，p₃)B；(2)求矩阵A的特征值；(3)求可逆矩阵P，使得P^﹣1AP为对角矩阵．

选项

答案(1)根据已知条件，有 A(p₁，p₂，p₃)＝(Ap₁，Ap₂，Ap₃) ＝(p₁＋p₂＋p₃，2p₂＋p₃，2p₂＋3p₃) ＝(p₁，p₃，p₃)[*] 于是所求矩阵 B＝[*] (2)因为p₁，p₂，p₃线性无关，矩阵P₁＝(p₁，p₂，p₃)可逆，所以P₁^﹣1AP₁＝B，进而A与B相似，也就是说A与B具有相同的特征值．又矩阵B的特征多项式｜B－2E｜＝[*] ＝﹣(λ－1)²(λ－4) 得矩阵B的特征值是1，1，4，因此矩阵A的特征值也是1，1，4． (3)对矩阵B，当λ₁＝λ₂＝1，解方程(B－E)x＝0．由 B－E＝[*] 得基础解系q₁＝(﹣1，1，0)^T，q₂＝(﹣2，0，1)^T．当λ₃＝4时，解方程(B－4E)x＝0．由 B－4E＝[*] 得基础解系q₃＝(0，1，1)^T．若令Q＝(q₁，q₂，q₃)，则有Q^﹣1BQ＝[*]＝diag(1，1，4)，结合矩阵A于B的关系可得 Q^﹣1P₁^﹣1AP₁Q＝[*]＝diag(1，1，4)．故当 P＝P₁Q＝(p₁，p₂，p₃)[*] ＝(﹣p₁＋p₂，﹣2p₁＋p₃，p₂＋p₃) 时，P^﹣1AP＝[*]

解析

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设A为3阶矩阵，p1，p2，p3是线性无关的3维列向量，且满足Ap1＝p1＋p2＋p3，Ap2＝2p2＋p3，Ap2＝2p2＋3p3．(1)求矩阵B使得A(p1，p2，p3)＝(p1，p2，p3)B；(2)求矩阵A的特征值；(3)求可逆矩阵P，使得P﹣1A

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