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设f(x)在(a,b)二阶可导,x1,x2∈(a,b),x1≠x2,∈(0,1),则 (I)若f”(x)>0(∈(a,b)),有 f[tx1+(1一t)x2]<tf(x1)+(1一t)f(x2), (4.6) (Ⅱ)若f”(x)<0(∈(a,b))
设f(x)在(a,b)二阶可导,x1,x2∈(a,b),x1≠x2,∈(0,1),则 (I)若f”(x)>0(∈(a,b)),有 f[tx1+(1一t)x2]<tf(x1)+(1一t)f(x2), (4.6) (Ⅱ)若f”(x)<0(∈(a,b))
admin
2017-07-28
39
问题
设f(x)在(a,b)二阶可导,
x
1
,x
2
∈(a,b),x
1
≠x
2
,
∈(0,1),则
(I)若f”(x)>0(
∈(a,b)),有
f[tx
1
+(1一t)x
2
]<tf(x
1
)+(1一t)f(x
2
), (4.6)
(Ⅱ)若f”(x)<0(
∈(a,b)),有
f[tx
1
+(1一t)x
2
]>tf(x
1
)+(1一t)f(x
2
), (4.7)
选项
答案
不妨设x
1
<x
2
,将x
2
换成x,引进函数 F(x)=tf(x
1
)+(1一t)f(x)一f[tx
1
+(1一t)x], 若能证:x
1
<x≤x
2
时F(x)>0,则原结论(I)成立.因 F(x
1
)=f(x
1
)一f(x
1
)=0, F(x)>0的一个充分条件是F(x)在[x
1
,x
2
]单调上升,因此只需考察F’(x). F’(x)=(1一t)f’(x)一f’[tx
1
+(1一t)x](1一t) =(1一t)[f’(x)一f’(tx
1
+(1一t)x)], 注意到当x
1
<x≤x
2
时,x
1
<tx
1
+(1一t)x=x+t(x
1
一x)<x≤x
2
.由f”(x)>0([*]∈(a,b)),f’(x)在(a,b)单调上升,所以f’(x)>f’[tx
1
+(1一t)x] (x
1
<x≤x
2
).从而F’(x)>0 (x
1
<x≤x
2
),即F(x)在[x
1
,x
2
]单调上升.因此F(x
2
)>F(x
1
)=0,即 tf(x
1
)+(1一t)f(x
2
)>f[tx
1
+(1一t)x
2
].
解析
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考研数学一
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