2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，∈(0，1)，则 (I)若f”(x)＞0(∈(a，b))，有 f[tx1+(1一t)x2]＜tf(x1)+(1一t)f(x2)， (4．6) (Ⅱ)若f”(x)＜0(∈(a，b))

设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，∈(0，1)，则 (I)若f”(x)＞0(∈(a，b))，有 f[tx1+(1一t)x2]＜tf(x1)+(1一t)f(x2)， (4．6) (Ⅱ)若f”(x)＜0(∈(a，b))

admin2017-07-28  43
问题 设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，∈(0，1)，则
(I)若f”(x)＞0(∈(a，b))，有
f[tx1+(1一t)x2]＜tf(x1)+(1一t)f(x2)，    (4．6)

(Ⅱ)若f”(x)＜0(∈(a，b))，有
    f[tx1+(1一t)x2]＞tf(x1)+(1一t)f(x2)，    (4．7)
选项
答案不妨设x1＜x2，将x2换成x，引进函数 F(x)=tf(x1)+(1一t)f(x)一f[tx1+(1一t)x]， 若能证：x1＜x≤x2时F(x)＞0，则原结论(I)成立．因 F(x1)=f(x1)一f(x1)=0， F(x)＞0的一个充分条件是F(x)在[x1，x2]单调上升，因此只需考察F’(x)． F’(x)=(1一t)f’(x)一f’[tx1+(1一t)x](1一t) =(1一t)[f’(x)一f’(tx1+(1一t)x)]， 注意到当x1＜x≤x2时，x1＜tx1+(1一t)x=x+t(x1一x)＜x≤x2．由f”(x)＞0([*]∈(a，b))，f’(x)在(a，b)单调上升，所以f’(x)＞f’[tx1+(1一t)x] (x1＜x≤x2)．从而F’(x)＞0 (x1＜x≤x2)，即F(x)在[x1，x2]单调上升．因此F(x2)＞F(x1)=0，即 tf(x1)+(1一t)f(x2)＞f[tx1+(1一t)x2]．
解析
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考研数学一

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