设f(x)在(a,b)二阶可导,x1,x2∈(a,b),x1≠x2,∈(0,1),则 (I)若f”(x)>0(∈(a,b)),有 f[tx1+(1一t)x2]<tf(x1)+(1一t)f(x2), (4.6) (Ⅱ)若f”(x)<0(∈(a,b))

admin2017-07-28  21

问题 设f(x)在(a,b)二阶可导,x1,x2∈(a,b),x1≠x2∈(0,1),则
(I)若f”(x)>0(∈(a,b)),有
f[tx1+(1一t)x2]<tf(x1)+(1一t)f(x2),    (4.6)

(Ⅱ)若f”(x)<0(∈(a,b)),有
    f[tx1+(1一t)x2]>tf(x1)+(1一t)f(x2),    (4.7)

选项

答案不妨设x1<x2,将x2换成x,引进函数 F(x)=tf(x1)+(1一t)f(x)一f[tx1+(1一t)x], 若能证:x1<x≤x2时F(x)>0,则原结论(I)成立.因 F(x1)=f(x1)一f(x1)=0, F(x)>0的一个充分条件是F(x)在[x1,x2]单调上升,因此只需考察F’(x). F’(x)=(1一t)f’(x)一f’[tx1+(1一t)x](1一t) =(1一t)[f’(x)一f’(tx1+(1一t)x)], 注意到当x1<x≤x2时,x1<tx1+(1一t)x=x+t(x1一x)<x≤x2.由f”(x)>0([*]∈(a,b)),f’(x)在(a,b)单调上升,所以f’(x)>f’[tx1+(1一t)x] (x1<x≤x2).从而F’(x)>0 (x1<x≤x2),即F(x)在[x1,x2]单调上升.因此F(x2)>F(x1)=0,即 tf(x1)+(1一t)f(x2)>f[tx1+(1一t)x2].

解析
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