设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( ).

admin2021-11-25 42

问题设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( ).

选项 A、∫₀^xt[f(t)－f(－t)]dt
B、∫₀^xt[f(t)+f(－t)]dt
C、∫₀^xf(t²)dt
D、∫₀^xf²(t)dt

答案B

解析因为t[f(t)－f(－t)]为偶函数，所以∫₀^xt[f(t)－f(－t)]dt为奇函数，A不对；
因为f(t²)为偶函数，所以∫₀^xf(t²)dt为奇函数，C不对；
因为不确定f²(t)的奇偶性，所以D不对。
令F(x)=∫₀^xt[f(t)+f(－t)]dt
F(－x)=∫₀^－xt[f(t)+f(－t)]dt=∫₀^x(－u)[f(u)+f(－u)](－du)=F(x),选B。

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