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设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( ).
设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( ).
admin
2020-02-28
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问题
设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( ).
选项
A、当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数
B、当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数
C、当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数
D、当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数
答案
A
解析
利用f(x)的所有原函数的性质判别.
f(x)的所有原函数可写为
它有下述常用的性质:
(1)若f(x)是奇函数,则
必为偶函数;
(2)若f(x)为偶函数,则只有当c=0时,
才为奇函数;
(3)若f(x)为周期函数,则存在常数T,使得对任意x,有f(x+T)=f(x),而
即只有
时,F(x)才是周期函数;
(4)若f(x)为单调增函数,对任意x
1
,x
2
,不妨设x
1
<x
2
,有f(x
1
)<f(x
2
),而
要想F(x)是单调增函数,则应有
,而由x
1
,x
2
的任意性,且设x
1
<x
2
时,必须有f(x)>0才行.
解一 设
若f(x)为奇函数,则
f(一x)=一f(x),
故F(x)为偶函数.
解二 令
,则可排除(B);
令f(x)=1,F(x)=x,则可排除(C);
令f(x)=x,
,则可排除(D);
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考研数学二
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