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  3. 设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行和第j行，得到的矩阵记成B，则下列五个关系①｜A｜＝｜B｜；②r(A)＝r(B)；③A，B等价；④A～B；⑤A，B合同．其中正确的有 ( )

设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行和第j行，得到的矩阵记成B，则下列五个关系①｜A｜＝｜B｜；②r(A)＝r(B)；③A，B等价；④A～B；⑤A，B合同．其中正确的有 ( )

admin2019-01-24  43
问题 设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行和第j行，得到的矩阵记成B，则下列五个关系①｜A｜＝｜B｜；②r(A)＝r(B)；③A，B等价；④A～B；⑤A，B合同．其中正确的有    (    )
选项 A、2个．
B、3个．
C、4个．
D、5个．
答案D
解析 将A的i列，j列互换，再将i行，j行互换，相当于用初等矩阵Eij右乘、左乘矩阵A，即B＝EijAEij，其中

｜Eij｜＝－1≠0，是可逆矩阵，｜Eij｜2＝1，故有｜B｜＝｜EijAEij｜＝｜A｜，r(A)＝r(B)，且A等价于B，即①，②，③成立．
Eij－1＝Eij，故Eij－1AEij＝EijAEij＝B，故A～B，④成立．
Eij－1＝Eij，故EijAEij＝EijTAEij＝B，故A合同于B，⑤成立．
从而知①，②，③，④，⑤均成立．应选(D)．
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考研数学一

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