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设A是一个n阶矩阵,先交换A的第i列与第j列,然后再交换第i行和第j行,得到的矩阵记成B,则下列五个关系①|A|=|B|;②r(A)=r(B);③A,B等价;④A~B;⑤A,B合同.其中正确的有 ( )
设A是一个n阶矩阵,先交换A的第i列与第j列,然后再交换第i行和第j行,得到的矩阵记成B,则下列五个关系①|A|=|B|;②r(A)=r(B);③A,B等价;④A~B;⑤A,B合同.其中正确的有 ( )
admin
2019-01-24
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问题
设A是一个n阶矩阵,先交换A的第i列与第j列,然后再交换第i行和第j行,得到的矩阵记成B,则下列五个关系①|A|=|B|;②r(A)=r(B);③A,B等价;④A~B;⑤A,B合同.其中正确的有 ( )
选项
A、2个.
B、3个.
C、4个.
D、5个.
答案
D
解析
将A的i列,j列互换,再将i行,j行互换,相当于用初等矩阵E
ij
右乘、左乘矩阵A,即B=E
ij
AE
ij
,其中
|E
ij
|=-1≠0,是可逆矩阵,|E
ij
|
2
=1,故有|B|=|E
ij
AE
ij
|=|A|,r(A)=r(B),且A等价于B,即①,②,③成立.
E
ij
-1
=E
ij
,故E
ij
-1
AE
ij
=E
ij
AE
ij
=B,故A~B,④成立.
E
ij
-1
=E
ij
,故E
ij
AE
ij
=E
ij
T
AE
ij
=B,故A合同于B,⑤成立.
从而知①,②,③,④,⑤均成立.应选(D).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ASM4777K
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考研数学一
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