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[2014年] 已知函数f(x,y)满足=2(y+1),且f(y,y)=(y+1)2一(2一y)lny,求曲线f(x,y)=0所围图形绕直线y=一1旋转所成旋转体的体积.
[2014年] 已知函数f(x,y)满足=2(y+1),且f(y,y)=(y+1)2一(2一y)lny,求曲线f(x,y)=0所围图形绕直线y=一1旋转所成旋转体的体积.
admin
2019-04-05
75
问题
[2014年] 已知函数f(x,y)满足
=2(y+1),且f(y,y)=(y+1)
2
一(2一y)lny,求曲线f(x,y)=0所围图形绕直线y=一1旋转所成旋转体的体积.
选项
答案
按平面图形绕平行于坐标轴y=一1的直线旋转所得的体积公式(1.3.5.8): V=π∫
1
2
[y一(一1)]dx求之,为此需先求出(y+1)
2
的表达式. 在[*]=2(y+1)两边对y积分得到f(x,y)=y
2
+2y+c(x).又由题设有 f(y,y)=(y+1)
2
-(2一y)lny,因而(y+1)
2
一(2一y)lny=y
2
+2y+c(y). 则C(y)=1一(2一y)[ny,于是C(x)=1一(2一x)lnx,因而 f(x,y)=y
2
+2y+1一(2-x)lnx=(y+1)
2
一(2-x)lnx. 曲线f(x,y)=0即(y+1)
2
=(2一x)lnx,注意到(y+1)
2
≥0,有x∈[1,2].于是所求的旋转体体积为 V=∫
1
2
π(y+1)
2
dx=π∫
1
2
(2一x)lnxdx=π∫
1
2
2lnxdx一[*]∫
1
2
lnxdx
2
=2π(xlnx∣
1
2
·∫
1
2
x·[*]dx)—[*](x
2
lnx∣
1
2
—∫
1
2
x
2
·[*]dx) =2π(2ln2—1)一[*].
解析
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