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[2003年] 若矩阵A=相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P,使P-1AP=A.
[2003年] 若矩阵A=相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P,使P-1AP=A.
admin
2019-05-10
54
问题
[2003年] 若矩阵A=
相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P,使P
-1
AP=A.
选项
答案
先求出A的特征值,再由A可对角化的必要条件秩(λ
i
E一A)=n一k
i
求出6E-A的秩,从而求出a.再求出A的所有线性无关的特征向量,即可求出相似变换矩阵P. 由∣λE-A ∣=(λ一6)
2
(λ+2)=0得到A的特征值为λ
1
=λ
2
=6,λ
3
=一2. 由于A相似于对角矩阵,由命题2.5.3.2(3)知,秩(6E—A)=n一k
1
=3—2=1. 因而6E—A中二阶子式[*]=2a=0,即a=0. 因 6E—A=[*] 故属于λ
1
=λ
2
=6的两个线性无关的特征向量为α
1
=[1,2,0]
T
,α
2
=[0,0,1]
T
. 因 一2E—A=[*] 故属于λ
3
=一2的一个线性无关的特征向量为α
3
=[1,-2,0]
T
. 令P=[α
1
,α
2
,α
3
],则P可逆,且有 P
-1
AP=A=diag(6,6,一2).
解析
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0
考研数学二
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