[2003年] 若矩阵A=相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P,使P-1AP=A.

admin2019-05-10  28

问题 [2003年]  若矩阵A=相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P,使P-1AP=A.

选项

答案先求出A的特征值,再由A可对角化的必要条件秩(λiE一A)=n一ki求出6E-A的秩,从而求出a.再求出A的所有线性无关的特征向量,即可求出相似变换矩阵P. 由∣λE-A ∣=(λ一6)2(λ+2)=0得到A的特征值为λ12=6,λ3=一2. 由于A相似于对角矩阵,由命题2.5.3.2(3)知,秩(6E—A)=n一k1=3—2=1. 因而6E—A中二阶子式[*]=2a=0,即a=0. 因 6E—A=[*] 故属于λ12=6的两个线性无关的特征向量为α1=[1,2,0]T,α2=[0,0,1]T. 因 一2E—A=[*] 故属于λ3=一2的一个线性无关的特征向量为α3=[1,-2,0]T. 令P=[α1,α2,α3],则P可逆,且有 P-1AP=A=diag(6,6,一2).

解析
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