设f(x)，g(x)在区间[－a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(－x)=A(A为常数)．利用上题的结论计算定积分

admin2019-03-22 95

问题设f(x)，g(x)在区间[－a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(－x)=A(A为常数)．
利用上题的结论计算定积分

选项

答案证一取f(x)=arctane^x，g(x)=|sinx|，a=π／2，则f(x)，g(x)在∈[－π／2，π／2]上连续，g(x)为偶函数．为利用本例(1)中的结论，先证f(x)+f(－x)=arctane^x+arctane^－x=A(常数)．事实上，由 [*] 知f(x)+f(－x)=arctane^x+arctane^－x为常数．取x=0，得到 arctane^x+arctane^－x｜_x=0=arctanl+arctanl=π／4+π／4=π／2．于是由上题有 [*] 证二由证一易看出，对于任意x>0，有arctane^x+arctane^－x=π／2．再直接利用公式[*]令[*]得到 [*]

解析

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