设f(x),g(x)在区间[-a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数). 利用上题的结论计算定积分

admin2019-03-22  46

问题 设f(x),g(x)在区间[-a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数).
利用上题的结论计算定积分

选项

答案证一 取f(x)=arctanex,g(x)=|sinx|,a=π/2,则f(x),g(x)在∈[-π/2,π/2]上连续,g(x)为偶函数.为利用本例(1)中的结论,先证f(x)+f(-x)=arctanex+arctane-x=A(常数).事实上,由 [*] 知f(x)+f(-x)=arctanex+arctane-x为常数.取x=0,得到 arctanex+arctane-xx=0=arctanl+arctanl=π/4+π/4=π/2. 于是由上题有 [*] 证二 由证一易看出,对于任意x>0,有arctanex+arctane-x=π/2.再直接利用公式[*]令[*]得到 [*]

解析
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