设A为m×n矩阵,下列命题中正确的是( )

admin2020-03-01  21

问题 设A为m×n矩阵,下列命题中正确的是(    )

选项 A、若A中有n阶子式不为零,则Ax=0仅有零解。
B、若A中有n阶子式不为零,则Ax=b必有唯一解。
C、若A中有m阶子式不为零,则Ax=0仅有零解。
D、若A中有m阶子式不为零,则Ax=b必有唯一解。

答案A

解析 A是m×n矩阵,若A中有n阶子式不为零,而A中又不存在n+1阶子式,故必有R(A)=n。同理,若A中有m阶子式不为零,则必有R(A)=m。
对于选项A,因为R(A)=n,而Ax=0是n个未知数的齐次方程组,所以Ax=0必只有零解。故A项正确。
对于选项B,当R(A)=n时,增广矩阵的秩有可能是n+1,所以Ax=b可能无解,因此B项不正确。例如:

有R(A)=2,=3,方程组无解。
对于C和D两项,R(A)=m,即A的行向量组线性无关,那么其延伸组必线性无关,所以=m。因此,方程组Ax=b必有解,但未必有唯一解,Ax=0也未必只有零解。
例如,有无穷多解。仅当m=n时,C、D两项才正确。
因此只有A项确定正确,故选A。
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