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  3. 设A为m×n矩阵，下列命题中正确的是( )

设A为m×n矩阵，下列命题中正确的是( )

admin2020-03-01  28
问题 设A为m×n矩阵，下列命题中正确的是(    )
选项 A、若A中有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解。
B、若A中有n阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解。
C、若A中有m阶子式不为零，则Ax=0仅有零解。
D、若A中有m阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解。
答案A
解析 A是m×n矩阵，若A中有n阶子式不为零，而A中又不存在n+1阶子式，故必有R(A)=n。同理，若A中有m阶子式不为零，则必有R(A)=m。
对于选项A，因为R(A)=n，而Ax=0是n个未知数的齐次方程组，所以Ax=0必只有零解。故A项正确。
对于选项B，当R(A)=n时，增广矩阵的秩有可能是n+1，所以Ax=b可能无解，因此B项不正确。例如：

有R(A)=2，=3，方程组无解。
对于C和D两项，R(A)=m，即A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以=m。因此，方程组Ax=b必有解，但未必有唯一解，Ax=0也未必只有零解。
例如，有无穷多解。仅当m=n时，C、D两项才正确。
因此只有A项确定正确，故选A。
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考研数学二

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