2. 考研
  3. A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明：λ=－1必是矩阵A与B的特征值．若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=－1的特征向量，证明：向量组α，β线性无关．

A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明：λ=－1必是矩阵A与B的特征值．若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=－1的特征向量，证明：向量组α，β线性无关．

admin2018-04-15  55
问题 A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明：λ=－1必是矩阵A与B的特征值．若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=－1的特征向量，证明：向量组α，β线性无关．
选项
答案因为(E+A)A=0，A≠0，知齐次方程组(E+A)x=0有非零解，即行列式｜E+A｜=0．所以λ=－1必是矩阵A的特征值．同理，λ=－1也必是矩阵B的特征值． 类似地，由AB=0，B≠0，知行列式｜A｜=0，所以λ=0必是矩阵A的特征值，同理，λ=0也必是矩阵B的特征值． 对于Aα=－α，用矩阵B左乘等式的两端有BAα=－Bα，又因为BA=0，故Bα=0－0α． 即α是矩阵B属于特征值λ=0的特征向量． 那么，α与β是矩阵B的不同特征值的特征向量，因而α，β线性无关．
解析
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考研数学一

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