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  3. 设f(0)＝g(0)，f’(0)＝g’(0)，f"(x)＜g"(x)(当x＞0时)，证明：当x＞0时，f(x)＜g(x)。

设f(0)＝g(0)，f’(0)＝g’(0)，f"(x)＜g"(x)(当x＞0时)，证明：当x＞0时，f(x)＜g(x)。

admin2015-11-16  40
问题 设f(0)＝g(0)，f’(0)＝g’(0)，f"(x)＜g"(x)(当x＞0时)，证明：当x＞0时，f(x)＜g(x)。
选项
答案证 令F(x)＝g(x)－f(x)，则 F(0)＝0， F’(0)＝0， F"(x)＞0。 由拉格朗日中值定理得到 F(x)＝F(x)－F(0)＝xF’(ξ1)，0＜ξ1＜x， F’(ξ1)＝F’(ξ1)－F’(0)＝ξ1F"(ξ2)，0＜ξ2＜ξ1， 则 F(x)＝xF’(ξ1)＝xξ1F"(ξ2)。 因F"(x)＞0，x＞0，ξ1＞0，故F(x)＞0，即f(x)＜g(x)。
解析
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考研数学一

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