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设f(0)=g(0),f’(0)=g’(0),f"(x)<g"(x)(当x>0时),证明:当x>0时,f(x)<g(x)。
设f(0)=g(0),f’(0)=g’(0),f"(x)<g"(x)(当x>0时),证明:当x>0时,f(x)<g(x)。
admin
2015-11-16
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问题
设f(0)=g(0),f’(0)=g’(0),f"(x)<g"(x)(当x>0时),证明:当x>0时,f(x)<g(x)。
选项
答案
证 令F(x)=g(x)-f(x),则 F(0)=0, F’(0)=0, F"(x)>0。 由拉格朗日中值定理得到 F(x)=F(x)-F(0)=xF’(ξ
1
),0<ξ
1
<x, F’(ξ
1
)=F’(ξ
1
)-F’(0)=ξ
1
F"(ξ
2
),0<ξ
2
<ξ
1
, 则 F(x)=xF’(ξ
1
)=xξ
1
F"(ξ
2
)。 因F"(x)>0,x>0,ξ
1
>0,故F(x)>0,即f(x)<g(x)。
解析
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考研数学一
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