已知△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.在该三角形内求一点P,使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大.并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值.

admin2020-12-06  29

问题 已知△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.在该三角形内求一点P,使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大.并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值.

选项

答案设点P到a,b,c三边的距离分别为x,y,z.于是[*],即 ax+by+c-2S=0. 令F(x,y,z,λ)=xyz+λ(ax+by+cz-2S),由拉格朗日乘数法,令 [*] 当点P在三角形的边上时,xyz=0.而点P在三角形内部时,xyz>0.所以当点P在三角形内部时,乘积xyz有最大值.所以当[*]时,xyz最大,最大值为[*].

解析
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