已知△ABC的面积为S，三边长分别为a，b，c．在该三角形内求一点P，使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大．并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值．

admin2020-12-06 48

问题已知△ABC的面积为S，三边长分别为a，b，c．在该三角形内求一点P，使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大．并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值．

选项

答案设点P到a，b，c三边的距离分别为x，y，z．于是[*]，即 ax＋by＋c－2S＝0．令F(x，y，z，λ)＝xyz＋λ(ax＋by＋cz－2S)，由拉格朗日乘数法，令 [*] 当点P在三角形的边上时，xyz＝0．而点P在三角形内部时，xyz＞0．所以当点P在三角形内部时，乘积xyz有最大值．所以当[*]时，xyz最大，最大值为[*]．

解析

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考研数学一

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