[2017年] 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )．

admin2019-07-12 33

问题 [2017年] 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )．

选项 A、E-αα^T不可逆
B、E+αα^T不可逆
C、E+2αα^T不可逆
D、E一2αα^T不可逆

答案A

解析令A=αα^T，则A²=A．
又令AX=λX，由(A²一A)X=(λ²一λ)X=0得λ²一λ=0，即λ=0或λ=1．
因为tr(A)=α^Tα=1=λ₁+…+λ_n，故得A的特征值为λ₁=…=λ_n-1=0，λ_n=1．
而E-αα^T的特征值为λ₁=…=λ_n-1=1，λ_n=0，从而｜E-αα^T｜=0，知E一αα^T不可逆．仅A入选．

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