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设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=-2B,CAT=2C. 其中 (Ⅰ)求A; (Ⅱ)证明:对任何3维向量ξ,A100ξ与ξ必线性相关.
设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=-2B,CAT=2C. 其中 (Ⅰ)求A; (Ⅱ)证明:对任何3维向量ξ,A100ξ与ξ必线性相关.
admin
2020-05-19
58
问题
设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=-2B,CA
T
=2C.
其中
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)证明:对任何3维向量ξ,A
100
ξ与ξ必线性相关.
选项
答案
由题设条件①AB=一2B,将B按列分块,设B=(β
1
,β
2
,β
3
),则有A(β
1
,β
2
,β
3
)=一2(β
1
,β
2
,β
3
),即Aβ
i
=一2β
i
,i=1,2,3,故β
i
(i=1,2,3)是A的对应于λ=一2的特征向量.又因β
1
,β
2
线性无关,β
3
=β
1
+β
2
,故β
1
,β
2
是A的属于λ=一2的线性无关特征向量.②CA
T
=2C,两边转置得AC
T
=2C
T
,将C
T
按列分块,设C
T
=(α
1
,α
2
,α
3
),则有A(α
1
,α
2
,α
3
)=2(α
1
,α
2
,α
3
),Aα
i
=2α
i
,i=1,2,3,故α
i
(i=1,2,3)是A的属于λ=2的特征向量,因α
1
,α
2
,α
3
互成比例,故α
1
是A的属于特征值λ=2的线性无关的特征向量. 取P=(β
1
,β
2
,α
1
),则P可逆,且 [*] (Ⅱ)因Aβ
i
=一2β
i
(i=1,2),故A
100
β
i
=(一2)
100
β
i
=2
100
β
i
(i=1,2),Aα
1
=2α
1
,故A
100
α
1
=2
100
α
1
. 对任意的3维向量ξ,因β
1
,β
2
,α
1
线性无关,考可由β
1
,β
2
,α
1
线性表示,且表示法唯一. 设ξ=μ
1
β
1
+μ
2
β
2
+μ
3
α
1
,则 A
100
ξ=A
100
(μ
1
β
1
+μ
2
β
2
+μ
3
α
1
)=μ
1
A
100
β
1
+μ
2
A
100
β
2
+μ
3
A
100
α
1
=μ
1
2
100
β
1
+μ
2
2
100
β
2
+μ
3
2
100
α
1
=2
100
(μ
1
β
1
+μ
2
β
2
+μ
3
a1)=2100ξ. 得证A
100
ξ和ξ成比例,A
100
ξ和ξ线性相关.
解析
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