2. 考研
  3. 设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=－2B，CAT=2C． 其中 (Ⅰ)求A； (Ⅱ)证明：对任何3维向量ξ，A100ξ与ξ必线性相关．

设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=－2B，CAT=2C． 其中 (Ⅰ)求A； (Ⅱ)证明：对任何3维向量ξ，A100ξ与ξ必线性相关．

admin2020-05-19  53
问题 设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=－2B，CAT=2C．
其中
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)证明：对任何3维向量ξ，A100ξ与ξ必线性相关．
选项
答案由题设条件①AB=一2B，将B按列分块，设B=(β1，β2，β3)，则有A(β1，β2，β3)=一2(β1，β2，β3)，即Aβi=一2βi，i=1，2，3，故βi(i=1，2，3)是A的对应于λ=一2的特征向量．又因β1，β2线性无关，β3=β1+β2，故β1，β2是A的属于λ=一2的线性无关特征向量．②CAT=2C，两边转置得ACT=2CT，将CT按列分块，设CT=(α1，α2，α3)，则有A(α1，α2，α3)=2(α1，α2，α3)，Aαi=2αi，i=1，2，3，故αi(i=1，2，3)是A的属于λ=2的特征向量，因α1，α2，α3互成比例，故α1是A的属于特征值λ=2的线性无关的特征向量． 取P=(β1，β2，α1)，则P可逆，且 [*] (Ⅱ)因Aβi=一2βi(i=1，2)，故A100βi=(一2)100βi=2100βi(i=1，2)，Aα1=2α1，故A100α1=2100α1． 对任意的3维向量ξ，因β1，β2，α1线性无关，考可由β1，β2，α1线性表示，且表示法唯一． 设ξ=μ1β1+μ2β2+μ3α1，则 A100ξ=A100(μ1β1+μ2β2+μ3α1)=μ1A100β1+μ2A100β2+μ3A100α1 =μ12100β1+μ22100β2+μ32100α1=2100(μ1β1+μ2β2+μ3a1)=2100ξ． 得证A100ξ和ξ成比例，A100ξ和ξ线性相关．
解析
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考研数学一

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