已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中： (1)求C1、C2的标准方程： (2)请问是否存在直线L满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N

admin2015-08-13 69

问题已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

(1)求C₁、C₂的标准方程：
(2)请问是否存在直线L满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N，且满足

若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由。

选项

答案(1)设[*]，C₂：y²=2px(p＞0) 已知的四个点经过分析：[*]，(4，-4)在C₂上；(-2，0)，[*]在C₁上，分别代入求得p=2， a=2，b=1，则标准方程为： [*]。 (2)C₂的焦点是(1，0)，假设存在这样的直线L且解析式为y=k(x-1)，联立C₂和L的解析式，化简整理得：[*]x²-2k²x+k²-1=0，设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，由[*] 根据韦达定理有[*] [*] 于是有k²=4，k=±2，因此满足条件的直线存在，L：y=2x-2或y=-2x+2。

解析

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已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中： (1)求C1、C2的标准方程： (2)请问是否存在直线L满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N

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