2. 考研
  3. 已知函数f(x)在区间[a，+∞)上具有二阶导数，f(a)=0，fˊ(x)＞0，f"(x)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明：a＜x0＜b．

已知函数f(x)在区间[a，+∞)上具有二阶导数，f(a)=0，fˊ(x)＞0，f"(x)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明：a＜x0＜b．

admin2020-05-09  55
问题 已知函数f(x)在区间[a，+∞)上具有二阶导数，f(a)=0，fˊ(x)＞0，f"(x)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明：a＜x0＜b．
选项
答案由题意得(b，f(b))处的切线方程为y-f(b)=fˊ(b)(x-b)， 令y=0，得[*]． 因为fˊ(x)＞0，所以f(x)单调递增，又因f(a)=0，则f(b)＞0， 又因fˊ(b)＞0，所以[*]． 又因为[*]，而在[a，b]上f(x)应用拉格朗中值定理有 [*] 所以，[*] 因f"(x)＞0，所以fˊ(x)单调递增，所以fˊ(b)＞fˊ(ξ)， 从而x0-a＞0，即a＜x0＜b
解析 【思路探索】写出切线方程，解出与x轴交点x0的表示式，利用函数的单调性和拉格朗日中值定理证明不等式．
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考研数学二

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