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  3. 设n阶矩阵A的秩为1，试证： (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积； (2)存在常数μ，使得Ak=μk-1A

设n阶矩阵A的秩为1，试证： (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积； (2)存在常数μ，使得Ak=μk-1A

admin2019-05-11  58
问题 设n阶矩阵A的秩为1，试证：
    (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积；
    (2)存在常数μ，使得Ak=μk-1A
选项
答案(1)将A以列分块，则r(A)=r(α1，α2，…，αn)=1表明列向量组α1，α2，…，αn的极大线性无关组有一个非零向量组成，设为αi=[a1，a2，…，an]T(≠0)，其余列向量均可由αi线性表出，设为αi=bjαi(j=1，2，…，n，j=i时，取bi=1)，则A=[α1，α2，…αn]=[b1αi，b2αi，…bnαi]=αi[b1，b2，…，bn]=[*][b1，b2，…，bn]． (2)记α=αi=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T，则 A=αβT，Ak=(αβT)k=(αβT)(αβT)…(αβT)=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT． 记βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=μ，则Ak=αμk-1βT=μk-1A．
解析
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考研数学二

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