2. 考研
  3. 二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22，Q的第3列为．①求A．②证明A+E是正定矩阵．

二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22，Q的第3列为．①求A．②证明A+E是正定矩阵．

admin2019-05-11  117
问题 二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22，Q的第3列为．①求A．②证明A+E是正定矩阵．
选项
答案①条件说明 Q-1AQ=QTAQ=[*] 于是A的特征值为1，1，0，并且Q的第3列=[*](1，0，1)T是A的特征值为0的特征向量．记α1=(1，0，1)T，它也是A的特征值为0的特征向量． A是实对称矩阵，它的属于特征值1的特征向量都和α1正交，即是方程式x1+x3=0的非零解． α2=(1，0，-1)T，α3=(0，1，0)T 是此方程式的基础解系，它们是A的特征值为l的两个特征向量． 建立矩阵方程 A(α1，α2，α3)=(0，α2，α3)， 两边做转置，得 [*] 解此矩阵方程 [*] ②A+E也是实对称矩阵，特征值为2，2，1，因此是正定矩阵．
解析
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考研数学二

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