[2004年] 设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

admin2021-01-19 51

问题 [2004年] 设矩阵A=

的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

选项

答案可利用特征值的性质即命题2．5．2．1求a，也可利用特征多项式求a．再利用命题2．5．3．2(3)判别A是否可相似对角化，只需考查二重特征值是否有两个线性无关的特征向量． (1)求a的值．A的特征多项式为 [*] =(λ一2)(λ²一8λ+18+3a)．若λ₁=λ₂=2是特征方程的二重根，则由命题2．5．2．1得到 1+4+5=2+2+λ₃，则λ₃=6．于是A的特征值为2，2，6．易求得∣A∣=6(a+6)．再利用命题2．5．2．1得 λ₁λ₂λ₃=2×2×6=∣A∣=6(a+6)，即 a=一2．或者，若λ=2是特征方程的二重根，由式①知，必有2²一8×2+18+3a=0，解得a=一2．若λ=2不是特征方程的二重根．设λ₀为其二重根，则由命题2．5．2．1有2+λ₀+λ₀=1+4+5，即λ₀=4．于是A的特征值为2，4，4．再用命题2．5．2．1得 2×4×4=∣A∣=6(a+6)，解得 a=一2／3．或者，当λ=2不是特征方程的二重根时，则由式①知λ²一8λ+18+3a必为完全平方，即18+3a=(8／2)²，解得a=一2／3． (2)讨论A是否可相似对角化．当a=一2时，A的特征值为2，2，6，特征矩阵2E—A=[*]的秩为1，故二重特征值λ=2对应的线性无关的特征向量有两个．由命题2．5．3．2(3)知，A可相似对角化．当a=一2／3时，A的特征值为2，4，4，特征矩阵4E—A=[*]的秩为2，故二重特征值λ=4对应的线性无关的特征向量只有一个．由命题2．5．3．2(3)知，A不可相似对角化．

解析

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