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[2004年] 设矩阵A=的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
[2004年] 设矩阵A=的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
admin
2021-01-19
25
问题
[2004年] 设矩阵A=
的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
选项
答案
可利用特征值的性质即命题2.5.2.1求a,也可利用特征多项式求a. 再利用命题2.5.3.2(3)判别A是否可相似对角化,只需考查二重特征值是否有两个线性无关的特征向量. (1)求a的值.A的特征多项式为 [*] =(λ一2)(λ
2
一8λ+18+3a). 若λ
1
=λ
2
=2是特征方程的二重根,则由命题2.5.2.1得到 1+4+5=2+2+λ
3
, 则λ
3
=6.于是A的特征值为2,2,6.易求得∣A∣=6(a+6).再利用命题2.5.2.1得 λ
1
λ
2
λ
3
=2×2×6=∣A∣=6(a+6), 即 a=一2. 或者,若λ=2是特征方程的二重根,由式①知,必有2
2
一8×2+18+3a=0,解得a=一2. 若λ=2不是特征方程的二重根.设λ
0
为其二重根,则由命题2.5.2.1有2+λ
0
+λ
0
=1+4+5,即λ
0
=4.于是A的特征值为2,4,4.再用命题2.5.2.1得 2×4×4=∣A∣=6(a+6), 解得 a=一2/3. 或者,当λ=2不是特征方程的二重根时,则由式①知λ
2
一8λ+18+3a必为完全平方,即18+3a=(8/2)
2
,解得a=一2/3. (2)讨论A是否可相似对角化. 当a=一2时,A的特征值为2,2,6,特征矩阵2E—A=[*]的秩为1,故二重特征值λ=2对应的线性无关的特征向量有两个.由命题2.5.3.2(3)知,A可相似对角化. 当a=一2/3时,A的特征值为2,4,4,特征矩阵4E—A=[*]的秩为2,故二重特征值λ=4对应的线性无关的特征向量只有一个.由命题2.5.3.2(3)知,A不可相似对角化.
解析
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