设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．

admin2019-11-25 58

问题设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，P^TAP为正定矩阵．

选项

答案首先A^T＝A，因为(P^TAP)^T＝P^TA^T(P^T)^T＝P^TAP，所以P^TAP为对称矩阵，对任意的X≠0，X^T(P^TAP)X＝(PX)^TA(PX)，令PX＝a，因为P可逆且X≠0，所以a≠0，又因为A为正定矩阵，所以a^TAa＞0，即X^T(P^TAP)X＞0，故X^T(P^TAP)X为正定二次型，于是P^TAP为正定矩阵．

解析

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