证明:方程xα=ln x(α<0)在(0,+∞)上有且仅有一个实根.

admin2018-09-20  30

问题 证明:方程xα=ln x(α<0)在(0,+∞)上有且仅有一个实根.

选项

答案令f(x)=ln x—xα(α<0),则f(x)在(0,+∞)上连续,且f(1)=一1<0,[*]=+∞,故对任意M>0,[*],当x>X时,有f(x)>M>0.任取x0>X,则f(1)f(x0)<0,根据零点定理,[*]∈(1,x0),使得f(ξ)=0,即方程xα=ln x在(0,+∞)上至少有一实根. 又ln x在(0,+∞)上单调增加,α<0,一xα也单调增加,从而f(x)在(0,+∞)上单调增加,因此方程f(x)=0在(0,+∞)上只有一个实根,即方程xα=ln x在(0,+∞)上只有一个实根.

解析
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