设X1 ,X2 ,…,X9是来自正态总体X~N(μ,σ2)的简单随机样本. 证明统计量Z服从自由度为2的t分布.

admin2020-12-17  57

问题 设X1 ,X2 ,…,X9是来自正态总体X~N(μ,σ2)的简单随机样本.

证明统计量Z服从自由度为2的t分布.

选项

答案由t分布的定义:如U~N(0,1),V~χ2(n),且U与V相互独立,则随机变量(统计量)[*]服从自由度为n的t分布,记为[*] 为使用定义须将统计量Z变形为 [*] 因X~N(μ,σ2),故E(Y1)=E(Y2)=μ,D(Y1)一[*],D(Y2)=[*] 又Y1与Y2独立,于是得到 E(Y1一Y2)=0,D(Y1一Y2)=[*] 所以Y1一Y2~[*] 又V=[*]~χ2(2),且Y2与S2独立,而Y1与Y2独立,故Y1与S2也独立,所以Y1一Y2与S2也独立,即U与V相互独立. 根据t分布的定义得到 [*] 注意 上面用到样本方差S2的性质: [*]~χ2(n-1), 其中S2=[*]相互独立.

解析 给出正态总体的一组简单随机样本待征统计量所服从的分布,这类问题常用统计量分布的定义即典型模式证之.
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