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  3. 设X1 ，X2 ，…，X9是来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本． 证明统计量Z服从自由度为2的t分布．

设X1 ，X2 ，…，X9是来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本． 证明统计量Z服从自由度为2的t分布．

admin2020-12-17  81
问题 设X1 ，X2 ，…，X9是来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本．

证明统计量Z服从自由度为2的t分布．
选项
答案由t分布的定义：如U～N(0，1)，V～χ2(n)，且U与V相互独立，则随机变量(统计量)[*]服从自由度为n的t分布，记为[*] 为使用定义须将统计量Z变形为 [*] 因X～N(μ，σ2)，故E(Y1)=E(Y2)=μ，D(Y1)一[*]，D(Y2)=[*] 又Y1与Y2独立，于是得到 E(Y1一Y2)=0，D(Y1一Y2)=[*] 所以Y1一Y2～[*] 又V=[*]～χ2(2)，且Y2与S2独立，而Y1与Y2独立，故Y1与S2也独立，所以Y1一Y2与S2也独立，即U与V相互独立． 根据t分布的定义得到 [*] 注意 上面用到样本方差S2的性质： [*]～χ2(n-1), 其中S2=[*]相互独立．
解析 给出正态总体的一组简单随机样本待征统计量所服从的分布，这类问题常用统计量分布的定义即典型模式证之．
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考研数学三

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