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设X1 ,X2 ,…,X9是来自正态总体X~N(μ,σ2)的简单随机样本. 证明统计量Z服从自由度为2的t分布.
设X1 ,X2 ,…,X9是来自正态总体X~N(μ,σ2)的简单随机样本. 证明统计量Z服从自由度为2的t分布.
admin
2020-12-17
50
问题
设X
1
,X
2
,…,X
9
是来自正态总体X~N(μ,σ
2
)的简单随机样本.
证明统计量Z服从自由度为2的t分布.
选项
答案
由t分布的定义:如U~N(0,1),V~χ
2
(n),且U与V相互独立,则随机变量(统计量)[*]服从自由度为n的t分布,记为[*] 为使用定义须将统计量Z变形为 [*] 因X~N(μ,σ
2
),故E(Y
1
)=E(Y
2
)=μ,D(Y
1
)一[*],D(Y
2
)=[*] 又Y
1
与Y
2
独立,于是得到 E(Y
1
一Y
2
)=0,D(Y
1
一Y
2
)=[*] 所以Y
1
一Y
2
~[*] 又V=[*]~χ
2
(2),且Y
2
与S
2
独立,而Y
1
与Y
2
独立,故Y
1
与S
2
也独立,所以Y
1
一Y
2
与S
2
也独立,即U与V相互独立. 根据t分布的定义得到 [*] 注意 上面用到样本方差S
2
的性质: [*]~χ
2
(n-1), 其中S
2
=[*]相互独立.
解析
给出正态总体的一组简单随机样本待征统计量所服从的分布,这类问题常用统计量分布的定义即典型模式证之.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BCx4777K
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考研数学三
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