已知函数y(x)由方程x3+y3－3x+3y－2=0确定，求y(x)的极值。

admin2019-04-17 43

问题已知函数y(x)由方程x³+y³－3x+3y－2=0确定，求y(x)的极值。

选项

答案在方程两边同时对x求导可得 3x²+3y²y’－3+3y’=0，(1) 令y’=0可得3x²－3=0，故x=±1。由极值的必要条件可知，函数只可能在x=1与x=－1处取得极值。为检验该点是否为极值点，需计算函数的二阶导数，对(1)式两边同时求导可得 6x+6y(y’)²+3y²y"+3y’=0。(2) 当x=1时，y=1，将x=1，y=1，y’=0代入(2)式可得y"(1)=－1(0，故y(1)=1是函数的极大值。当x=－1时，y=0，将x=－1，y=0，y’=0代入(2)式可得y"(－1)=2＞0，故y(－1)=0是函数的极小值。

解析

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