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已知函数y(x)由方程x3+y3-3x+3y-2=0确定,求y(x)的极值。
已知函数y(x)由方程x3+y3-3x+3y-2=0确定,求y(x)的极值。
admin
2019-04-17
55
问题
已知函数y(x)由方程x
3
+y
3
-3x+3y-2=0确定,求y(x)的极值。
选项
答案
在方程两边同时对x求导可得 3x
2
+3y
2
y’-3+3y’=0,(1) 令y’=0可得3x
2
-3=0,故x=±1。 由极值的必要条件可知,函数只可能在x=1与x=-1处取得极值。为检验该点是否为极值点,需计算函数的二阶导数,对(1)式两边同时求导可得 6x+6y(y’)
2
+3y
2
y"+3y’=0。(2) 当x=1时,y=1,将x=1,y=1,y’=0代入(2)式可得y"(1)=-1(0,故y(1)=1是函数的极大值。 当x=-1时,y=0,将x=-1,y=0,y’=0代入(2)式可得y"(-1)=2>0,故y(-1)=0是函数的极小值。
解析
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考研数学二
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