设函数，f(x)＝x22x，则对于任意正整数n＞1，f(x)在x＝0处的n阶导数f(n)(0)＝( )

admin2021-04-07 42

问题设函数，f(x)＝x²2^x，则对于任意正整数n＞1，f(x)在x＝0处的n阶导数f⁽ⁿ⁾(0)＝( )

选项 A、n(n－1)(ln2)^n－2
B、n(n－2)(ln2)^n－2
C、n(n＋1)(ln2)^n－2
D、n(n＋2)(ln2)^n－2

答案A

解析设f(x)在x＝0处的n阶泰勒展开式为f(x)＝

，另一方面，利用间接法展开得f(x)＝

比较对应系数得
f^(k)(0)＝k!a_k，k＝1，2，…，n，
现在，利用指数函数e^x的n阶泰勒公式，有
2^x＝e^xln2＝1＋xln2＋…＋

＋o(x^n－2)，
所以x²2^x＝x²＋(1n2)x³＋…＋

＋o(xⁿ)。
与一般泰勒公式比较xⁿ的系数，得

，所以f⁽ⁿ⁾(0)＝n(n－1)(1n2)^n－2。

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