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设函数,f(x)=x22x,则对于任意正整数n>1,f(x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)=( )
设函数,f(x)=x22x,则对于任意正整数n>1,f(x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)=( )
admin
2021-04-07
57
问题
设函数,f(x)=x
2
2
x
,则对于任意正整数n>1,f(x)在x=0处的n阶导数f
(n)
(0)=( )
选项
A、n(n-1)(ln2)
n-2
B、n(n-2)(ln2)
n-2
C、n(n+1)(ln2)
n-2
D、n(n+2)(ln2)
n-2
答案
A
解析
设f(x)在x=0处的n阶泰勒展开式为f(x)=
,另一方面,利用间接法展开得f(x)=
比较对应系数得
f
(k)
(0)=k!a
k
,k=1,2,…,n,
现在,利用指数函数e
x
的n阶泰勒公式,有
2
x
=e
xln2
=1+xln2+…+
+o(x
n-2
),
所以x
2
2
x
=x
2
+(1n2)x
3
+…+
+o(x
n
)。
与一般泰勒公式比较x
n
的系数,得
,所以f
(n)
(0)=n(n-1)(1n2)
n-2
。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BEy4777K
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