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  3. 设函数，f(x)＝x22x，则对于任意正整数n＞1，f(x)在x＝0处的n阶导数f(n)(0)＝( )

设函数，f(x)＝x22x，则对于任意正整数n＞1，f(x)在x＝0处的n阶导数f(n)(0)＝( )

admin2021-04-07  57
问题 设函数，f(x)＝x22x，则对于任意正整数n＞1，f(x)在x＝0处的n阶导数f(n)(0)＝(    )
选项 A、n(n－1)(ln2)n－2
B、n(n－2)(ln2)n－2
C、n(n＋1)(ln2)n－2
D、n(n＋2)(ln2)n－2
答案A
解析 设f(x)在x＝0处的n阶泰勒展开式为f(x)＝，另一方面，利用间接法展开得f(x)＝比较对应系数得
f(k)(0)＝k!ak，k＝1，2，…，n，
现在，利用指数函数ex的n阶泰勒公式，有
2x＝exln2＝1＋xln2＋…＋＋o(xn－2)，
所以x22x＝x2＋(1n2)x3＋…＋＋o(xn)。
与一般泰勒公式比较xn的系数，得，所以f(n)(0)＝n(n－1)(1n2)n－2。
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考研数学二

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