设y＝γ(χ)是由方程2y3－2y2＋2χy－χ2＝1确定的，求y＝y(χ)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?

admin2016-10-21 43

问题设y＝γ(χ)是由方程2y³－2y²＋2χy－χ²＝1确定的，求y＝y(χ)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?

选项

答案(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y′(χ)．将方程两边对χ求导得 6y²y′－4yy′＋2χy′＋2y－2χ＝0．整理得[*] (Ⅱ)由y′(χ)＝0及原方程确定驻点．由y′(χ)＝0得y＝χ代入原方程得 2χ³－2χ²＋2χχ－χ²＝1，即χ³－χ²＋χ³－1＝0，(χ－1)(2χ²＋χ＋1)＝0．仅有根χ＝1．当y＝χ＝1时，3y²－2y＋χ≠0．因此求得驻点χ＝1． (Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y²－2y＋χ)y′＝χ－y． ② 将②式两边对χ在χ＝1求导，注意y′(1)＝0，y(1)＝1，得 2y〞(1)＝1，y〞(1)[*]＞0．故χ＝1是隐函数y(χ)的极小值点．

解析

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考研数学二

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