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设y=γ(χ)是由方程2y3-2y2+2χy-χ2=1确定的,求y=y(χ)的驻点,并判定其驻点是否是极值点?
设y=γ(χ)是由方程2y3-2y2+2χy-χ2=1确定的,求y=y(χ)的驻点,并判定其驻点是否是极值点?
admin
2016-10-21
59
问题
设y=γ(χ)是由方程2y
3
-2y
2
+2χy-χ
2
=1确定的,求y=y(χ)的驻点,并判定其驻点是否是极值点?
选项
答案
(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y′(χ).将方程两边对χ求导得 6y
2
y′-4yy′+2χy′+2y-2χ=0. 整理得[*] (Ⅱ)由y′(χ)=0及原方程确定驻点.由y′(χ)=0得y=χ代入原方程得 2χ
3
-2χ
2
+2χχ-χ
2
=1,即χ
3
-χ
2
+χ
3
-1=0,(χ-1)(2χ
2
+χ+1)=0. 仅有根χ=1.当y=χ=1时,3y
2
-2y+χ≠0.因此求得驻点χ=1. (Ⅲ)判定驻点是否是极值点.将①式化为(3y
2
-2y+χ)y′=χ-y. ② 将②式两边对χ在χ=1求导,注意y′(1)=0,y(1)=1,得 2y〞(1)=1,y〞(1)[*]>0. 故χ=1是隐函数y(χ)的极小值点.
解析
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考研数学二
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