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设fn(x)=Cn1cosx-Cn2cos2x+…+(-1)n-1Cnncos2x,证明:对任意自然数n,方程fn(x)=1/2在区间(0,π/2)内有且仅有一个根.
设fn(x)=Cn1cosx-Cn2cos2x+…+(-1)n-1Cnncos2x,证明:对任意自然数n,方程fn(x)=1/2在区间(0,π/2)内有且仅有一个根.
admin
2022-06-30
59
问题
设f
n
(x)=C
n
1
cosx-C
n
2
cos
2
x+…+(-1)
n-1
C
n
n
cos
2
x,证明:对任意自然数n,方程f
n
(x)=1/2在区间(0,π/2)内有且仅有一个根.
选项
答案
由f
n
(x)=C
n
1
cosx-C
n
2
cos
2
x+…+(-1)
n-1
C
n
n
cos
n
x得f
n
(x)=1-(1-cosx)
n
,令g(x)=f
n
(x)-1/2=1/2-(1-cosx)
n
,g(0)=1/2>0,g(π/2)=-1/2<0, 由零点定理,存在c∈(0,π/2),使得g(c)=0, 即方程f
n
(x)=1/2在(0,π/2)内至少要有一个根. 因为g’(x)=-n(1-cosx)
n-1
·sinx<0(0<x<π/2), 所以g(x)在(0,π/2)内有唯一的零点,从而方程f
n
(x)=1/2在(0,π/2)内有唯一根.
解析
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考研数学二
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