设fn(x)=Cn1cosx-Cn2cos2x+…+(-1)n-1Cnncos2x,证明:对任意自然数n,方程fn(x)=1/2在区间(0,π/2)内有且仅有一个根.

admin2022-06-30  23

问题 设fn(x)=Cn1cosx-Cn2cos2x+…+(-1)n-1Cnncos2x,证明:对任意自然数n,方程fn(x)=1/2在区间(0,π/2)内有且仅有一个根.

选项

答案由fn(x)=Cn1cosx-Cn2cos2x+…+(-1)n-1Cnncosnx得fn(x)=1-(1-cosx)n,令g(x)=fn(x)-1/2=1/2-(1-cosx)n,g(0)=1/2>0,g(π/2)=-1/2<0, 由零点定理,存在c∈(0,π/2),使得g(c)=0, 即方程fn(x)=1/2在(0,π/2)内至少要有一个根. 因为g’(x)=-n(1-cosx)n-1·sinx<0(0<x<π/2), 所以g(x)在(0,π/2)内有唯一的零点,从而方程fn(x)=1/2在(0,π/2)内有唯一根.

解析
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