2. 考研
  3. 设fn(x)=Cn1cosx－Cn2cos2x+…+(－1)n－1Cnncos2x，证明：对任意自然数n，方程fn(x)=1/2在区间(0，π/2)内有且仅有一个根．

设fn(x)=Cn1cosx－Cn2cos2x+…+(－1)n－1Cnncos2x，证明：对任意自然数n，方程fn(x)=1/2在区间(0，π/2)内有且仅有一个根．

admin2022-06-30  95
问题 设fn(x)=Cn1cosx－Cn2cos2x+…+(－1)n－1Cnncos2x，证明：对任意自然数n，方程fn(x)=1/2在区间(0，π/2)内有且仅有一个根．
选项
答案由fn(x)=Cn1cosx－Cn2cos2x+…+(－1)n－1Cnncosnx得fn(x)=1－(1－cosx)n，令g(x)=fn(x)－1/2=1/2－(1－cosx)n，g(0)=1/2＞0，g(π/2)=－1/2＜0， 由零点定理，存在c∈(0，π/2)，使得g(c)=0， 即方程fn(x)=1/2在(0，π/2)内至少要有一个根． 因为g’(x)=－n(1－cosx)n－1·sinx＜0(0＜x＜π/2)， 所以g(x)在(0，π/2)内有唯一的零点，从而方程fn(x)=1/2在(0，π/2)内有唯一根．
解析
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考研数学二

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