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  3. 已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=f2(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是( )

已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=f2(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是( )

admin2019-08-12  100
问题 已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=f2(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是(    )
选项 A、n！[f(x)]n＋1。
B、n[f(x)]n＋1。
C、[f(x)]2n。
D、n！[f(x)]2n。
答案A
解析 由f’(x)=f2(x)可得，f’’(x)=2f(x)f’(x)=2！[f(x)]3。
假设f(k)(x)=k！[f(x)]k＋1，则
f(k＋1)(x)=(k+1)k！[f(x)]kf’(x)=(k+1)！[f(x)]k＋2，由数学归纳法可知，f(n)(x)=n！[f(x)]n＋1对一切正整数成立。
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考研数学二

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