2. 考研
  3. 设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，且存在. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a].使得

设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，且存在. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a].使得

admin2022-08-19  41
问题 设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，且存在.
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；
(2)证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a].使得
选项
答案(1)由[*]存在，得f(0)=0，f′(0)=0，f″(0)=0， 则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)=[f′″(0)/3!]x3+[f(4)(ξ)/4!]x4，其中ξ介于0与x之间. (2)(1)中麦克劳林公式两边积分得∫-aaf(x)dx=1/24∫-aaf(4)(ξ)x4dx. 因为f(4)(x)在[-a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[-a，a]上取到最大值M和最小 值m，于是有mx4≤f(4)(ξ)x4≤Mx4， 两边在[-a，a]上积分得(2m/5)a5≤∫-aaf(4)(ξ)x4dx≤(2M/5)a5， 从而ma5/60≤1/24∫-aaf(4)(ξ)x4dx≤Ma5/60，或ma5/60≤∫-aaf(x)dx≤Ma5/60， 于是m≤(60/a5)∫-aaf(x)dx≤M， 根据介值定理，存在ξ1∈[-a，a]，使得 f(4)(ξ1)=(60/a5)∫-aaf(x)dx，或a5f(4)(ξ1)=60∫-aaf(x)dx. 再由积分中值定理，存在ξ2∈[-a，a]，使得 a5f(4)(ξ1)=60∫-aaf(x)dx=120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2).
解析
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考研数学三

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