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设f(x)在[-a,a](a>0)上有四阶连续的导数,且存在. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式; (2)证明:存在ξ1,ξ2∈[-a,a].使得
设f(x)在[-a,a](a>0)上有四阶连续的导数,且存在. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式; (2)证明:存在ξ1,ξ2∈[-a,a].使得
admin
2022-08-19
19
问题
设f(x)在[-a,a](a>0)上有四阶连续的导数,且
存在.
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式;
(2)证明:存在ξ
1
,ξ
2
∈[-a,a].使得
选项
答案
(1)由[*]存在,得f(0)=0,f′(0)=0,f″(0)=0, 则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)=[f′″(0)/3!]x
3
+[f
(4)
(ξ)/4!]x
4
,其中ξ介于0与x之间. (2)(1)中麦克劳林公式两边积分得∫
-a
a
f(x)dx=1/24∫
-a
a
f
(4)
(ξ)x
4
dx. 因为f
(4)
(x)在[-a,a]上为连续函数,所以f
(4)
(x)在[-a,a]上取到最大值M和最小 值m,于是有mx
4
≤f
(4)
(ξ)x
4
≤Mx
4
, 两边在[-a,a]上积分得(2m/5)a
5
≤∫
-a
a
f
(4)
(ξ)x
4
dx≤(2M/5)a
5
, 从而ma
5
/60≤1/24∫
-a
a
f
(4)
(ξ)x
4
dx≤Ma
5
/60,或ma
5
/60≤∫
-a
a
f(x)dx≤Ma
5
/60, 于是m≤(60/a
5
)∫
-a
a
f(x)dx≤M, 根据介值定理,存在ξ
1
∈[-a,a],使得 f
(4)
(ξ
1
)=(60/a
5
)∫
-a
a
f(x)dx,或a
5
f
(4)
(ξ
1
)=60∫
-a
a
f(x)dx. 再由积分中值定理,存在ξ
2
∈[-a,a],使得 a
5
f
(4)
(ξ
1
)=60∫
-a
a
f(x)dx=120af(ξ
2
),即a
4
f
(4)
(ξ
1
)=120f(ξ
2
).
解析
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考研数学三
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