设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，且存在. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a].使得

admin2022-08-19 34

问题设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，且

存在.
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；
(2)证明：存在ξ₁，ξ₂∈[-a，a].使得

选项

答案(1)由[*]存在，得f(0)=0，f′(0)=0，f″(0)=0，则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)=[f′″(0)/3!]x³+[f⁽⁴⁾(ξ)/4!]x⁴，其中ξ介于0与x之间. (2)(1)中麦克劳林公式两边积分得∫_-a^af(x)dx=1/24∫_-a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx. 因为f⁽⁴⁾(x)在[-a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(x)在[-a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx⁴≤f⁽⁴⁾(ξ)x⁴≤Mx⁴，两边在[-a，a]上积分得(2m/5)a⁵≤∫_-a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx≤(2M/5)a⁵，从而ma⁵/60≤1/24∫_-a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx≤Ma⁵/60，或ma⁵/60≤∫_-a^af(x)dx≤Ma⁵/60，于是m≤(60/a⁵)∫_-a^af(x)dx≤M，根据介值定理，存在ξ₁∈[-a，a]，使得 f⁽⁴⁾(ξ₁)=(60/a⁵)∫_-a^af(x)dx，或a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_-a^af(x)dx. 再由积分中值定理，存在ξ²∈[-a，a]，使得 a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_-a^af(x)dx=120af(ξ₂)，即a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)=120f(ξ₂).

解析

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考研数学三

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