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设二元函数f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)处的某邻域内连续.证明:函数f(x,y)在点(0,0)处可微的充分必要条件是φ(0,0)=0.
设二元函数f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)处的某邻域内连续.证明:函数f(x,y)在点(0,0)处可微的充分必要条件是φ(0,0)=0.
admin
2019-11-25
48
问题
设二元函数f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)处的某邻域内连续.证明:函数f(x,y)在点(0,0)处可微的充分必要条件是φ(0,0)=0.
选项
答案
(必要性)设f(x,y)在点(0,0)处可微,则f’
x
(0,0),f’
y
(0,0)存在. 因为f’
x
(0,0)=[*]. 且[*]=φ(0,0),[*]=-φ’(0,O),所以φ(0,0)=0. (充分性)若φ(0,0)=0,则f’
x
(0,0)=0,f’
y
(0,0)=0. 因为[*] 又[*]≤2, 所以[*]=0,即f(x,y)在点(0,0)处可微.
解析
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考研数学三
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