设二元函数f(x，y)＝｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)＝0．

admin2019-11-25 102

问题设二元函数f(x，y)＝｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)＝0．

选项

答案(必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f’_x(0，0)，f’_y(0，0)存在．因为f’_x(0，0)＝[*]．且[*]＝φ(0，0)，[*]＝－φ’(0，O)，所以φ(0，0)＝0． (充分性)若φ(0，0)＝0，则f’_x(0，0)＝0，f’_y(0，0)＝0．因为[*] 又[*]≤2，所以[*]＝0，即f(x，y)在点(0，0)处可微．

解析

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