[2018年] 已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2. 求f(x);

admin2019-05-10  51

问题 [2018年]  已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2
求f(x);

选项

答案作变量替换,u=x—t,得t=x一u,dt=一du,则 ∫0xtf(x—t)dt=一∫0x(z一u)f(u)du=x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du, 所以原方程可化为 ∫0xf(t)dt+x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du=ax2. 上式两端对x求导得 f(x)+∫0xf(u)du+xf(x)一xf(x)=2ax, 即 f(x)+∫0xf(u)du=2ax,其中f(0)=0. 继续求导,有 f′(x)+f(x)=2a, 为一阶线性微分方程,其通解 f(x)=e-∫dx(∫2ae∫dxdx+C)=2a+Ce-x, 再结合f(0)=0,得f′(x)=2a一2ae-x

解析
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