[2018年] 已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2．求f(x)；

admin2019-05-10 53

问题 [2018年] 已知连续函数f(x)满足∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x一t)dt=ax²．
求f(x)；

选项

答案作变量替换，u=x—t，得t=x一u，dt=一du，则 ∫₀^xtf(x—t)dt=一∫₀^x(z一u)f(u)du=x∫₀^xf(u)du一∫₀^xuf(u)du，所以原方程可化为 ∫₀^xf(t)dt+x∫₀^xf(u)du－∫₀^xuf(u)du=ax²．上式两端对x求导得 f(x)+∫₀^xf(u)du+xf(x)一xf(x)=2ax，即 f(x)+∫₀^xf(u)du=2ax，其中f(0)=0．继续求导，有 f′(x)+f(x)=2a，为一阶线性微分方程，其通解 f(x)=e^-∫dx(∫2ae^∫dxdx+C)=2a+Ce^-x，再结合f(0)=0，得f′(x)=2a一2ae^-x．

解析

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考研数学二

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