[2018年] 已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2．求f(x)；

admin2019-05-10 120

问题 [2018年] 已知连续函数f(x)满足∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x一t)dt=ax²．
求f(x)；

选项

答案作变量替换，u=x—t，得t=x一u，dt=一du，则 ∫₀^xtf(x—t)dt=一∫₀^x(z一u)f(u)du=x∫₀^xf(u)du一∫₀^xuf(u)du，所以原方程可化为 ∫₀^xf(t)dt+x∫₀^xf(u)du－∫₀^xuf(u)du=ax²．上式两端对x求导得 f(x)+∫₀^xf(u)du+xf(x)一xf(x)=2ax，即 f(x)+∫₀^xf(u)du=2ax，其中f(0)=0．继续求导，有 f′(x)+f(x)=2a，为一阶线性微分方程，其通解 f(x)=e^-∫dx(∫2ae^∫dxdx+C)=2a+Ce^-x，再结合f(0)=0，得f′(x)=2a一2ae^-x．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BNV4777K

考研数学二

相关试题推荐

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)，且f(χ)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＞0，f′(η)＜0．
求不定积分
设f′(lnχ)＝1＋χ，且f(0)＝1，求f(χ)．
设α1，α2，…，αs为AX＝0的一个基础解系，β不是AX＝0的解，证明：β，β＋α1，β＋α2，…，β＋αs线性无关．
将积f(χ，y)dχdy化成极坐标形式，其中D为χ2＋y2＝－8χ所围成的区域．
求微分方程χy＝χ2＋y2满足初始条件y(e)＝2e的特解．
定积分中值定理的条件是f(x)在[a，b]上连续，结论是________．
曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是_________．
设产品的需求函数和供给函数分别为Qd＝14－2P，Qs＝－4＋2P若厂商以供需一致来控制产量，政府对产品征收的税率为t，求：(1)t为何值时．征税收益最大，最大值是多少?(2)征税前后的均衡价格和均衡产量．
设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F’’(2)等于()

随机试题

急进型高血压最常见的致死原因为
下列机构中实行集体负责制的机关是：()。
某企业发行普通股一批，普通股市价22元，筹资费用率为2．5％，本年发放现金股0．7元，预期股利年增长率为8％，则该企业普通股的个别资本成本为()。
下列行为中，不符合内部控制要求的有()。
某市公安局破获一抢劫团伙，该团伙涉嫌多次入户抢劫，对当地造成重大财产损失，犯罪嫌疑人甲(×周岁)、乙(20周岁)、丙(22周岁)于2015年10月10日10时被刑事拘留。下列对乙的处置哪一项是违法的?()
1，10，33，76，145，()
2，5，9，19，37，()
(安徽2012—69)A、B、C、D四人去羽毛球馆打球，A每隔5天去一次，B每隔11天去一次，C每隔17天去一次，D每隔29天去一次，5月18日，四个人恰好在羽毛球馆相遇，则下一次相遇时间为？()
被看成是英国中等教育发展中最有价值的设计草图，推动了英国中等教育的发展，并促进了英国公众接受“人人受中等教育”的观念以及中等学校划分为文法中学、现代中学和技术中学的三种类型的主张的法案是
“居安思危”这句成语蕴含的哲学道理是

最新回复(0)

[2018年] 已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2． 求f(x)；

考研数学二

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)，且f(χ)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＞0，f′(η)＜0．

求不定积分

设f′(lnχ)＝1＋χ，且f(0)＝1，求f(χ)．

设α1，α2，…，αs为AX＝0的一个基础解系，β不是AX＝0的解，证明：β，β＋α1，β＋α2，…，β＋αs线性无关．

将积f(χ，y)dχdy化成极坐标形式，其中D为χ2＋y2＝－8χ所围成的区域．

求微分方程χy＝χ2＋y2满足初始条件y(e)＝2e的特解．

定积分中值定理的条件是f(x)在[a，b]上连续，结论是________．

曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是_________．

设产品的需求函数和供给函数分别为Qd＝14－2P，Qs＝－4＋2P若厂商以供需一致来控制产量，政府对产品征收的税率为t，求：(1)t为何值时．征税收益最大，最大值是多少?(2)征税前后的均衡价格和均衡产量．

设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F’’(2)等于()

急进型高血压最常见的致死原因为

下列机构中实行集体负责制的机关是：()。

某企业发行普通股一批，普通股市价22元，筹资费用率为2．5％，本年发放现金股0．7元，预期股利年增长率为8％，则该企业普通股的个别资本成本为()。

下列行为中，不符合内部控制要求的有()。

某市公安局破获一抢劫团伙，该团伙涉嫌多次入户抢劫，对当地造成重大财产损失，犯罪嫌疑人甲(×周岁)、乙(20周岁)、丙(22周岁)于2015年10月10日10时被刑事拘留。下列对乙的处置哪一项是违法的?()

1，10，33，76，145，()

2，5，9，19，37，()

(安徽2012—69)A、B、C、D四人去羽毛球馆打球，A每隔5天去一次，B每隔11天去一次，C每隔17天去一次，D每隔29天去一次，5月18日，四个人恰好在羽毛球馆相遇，则下一次相遇时间为？()

被看成是英国中等教育发展中最有价值的设计草图，推动了英国中等教育的发展，并促进了英国公众接受“人人受中等教育”的观念以及中等学校划分为文法中学、现代中学和技术中学的三种类型的主张的法案是

“居安思危”这句成语蕴含的哲学道理是

[2018年] 已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2．求f(x)；