设有两个线性方程组：其中向量b=(b1，b2，…，bm)T≠0．证明I方程组(I)有解的充分必要条件，是(Ⅱ)的每一解y=(y1，y2，…，ym)T都满足方程b1y1+b2y2+…+bkym=0．

admin2016-04-11 50

问题设有两个线性方程组：

其中向量b=(b₁，b₂，…，b_m)^T≠0．证明I方程组(I)有解的充分必要条件，是(Ⅱ)的每一解y=(y₁，y₂，…，y_m)^T都满足方程b₁y₁+b₂y₂+…+b_ky_m=0．

选项

答案记A=(a_ij)_m×n，x=(x₁，x₂，…，x_n)^T，y=(y₁，y₂，…，y_m)^T，则方程组(I)的矩阵形式为Ax=b，方程组(Ⅱ)的矩阵形式为A^Ty=0，方程[*]b_iy_i=0的矩阵形式为b^Ty=0．必要性：设方程组(I)有解x，y为(II)的任一解，则b^Ty=(Ax)^Ty=x^T(A^Ty)=x^T0=0，故(II)的任一解y都满足方程b^Ty=0．充分性：在充分性条件下，两个齐次线性方程组[*]=0与A^Ty=0同解，故其系数矩阵的秩相同，从而系数矩阵的转置矩阵的秩也相同，即r(A)=r(A|b)，由有解判定定理知方程组(I)有解．

解析

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考研数学一

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设有两个线性方程组：其中向量b=(b1，b2，…，bm)T≠0．证明I方程组(I)有解的充分必要条件，是(Ⅱ)的每一解y=(y1，y2，…，ym)T都满足方程b1y1+b2y2+…+bkym=0．

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