2. 考研
  3. 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤,对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0,1,2,…)证明：存在且满足方程f(x)=x.

设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤,对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0,1,2,…)证明：存在且满足方程f(x)=x.

admin2021-11-25  65
问题 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤,对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0,1,2,…)证明：存在且满足方程f(x)=x.
选项
答案xn+1－xn=f(xn)－f(xn-1)=f’(ξn)(xn－xn-1),因为f’(x)≥0,所以xn+1－xn与xn－xn-1同号，故{xn}单调。 ｜xn｜=f(xn-1)=｜f(x1)+[*]｜ ≤｜f(x1｜+[*]f’(x)dx｜≤｜f(x1)｜+[*]=｜f(x1)｜+πk, 即{xn}有界，于是[*]存在， 根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn+1=f(xn)两边令n→∞,得 [*],原命题得证。
解析
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考研数学二

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