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设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=.证明:存在ξ∈(0,2),使得f’’’(ξ)=2.
设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=.证明:存在ξ∈(0,2),使得f’’’(ξ)=2.
admin
2017-08-31
20
问题
设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f
’
(1)=0,f(2)=
.证明:存在ξ∈(0,2),使得f
’’’
(ξ)=2.
选项
答案
方法一 先作一个函数P(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d.使得P(0)=f(0)=1,P
’
(1)=f
’
(1)=0, P(2)=f(2)=[*],P(1)=f(1),则P(x)=[*], 令g(x)=f(x)一P(x),则g(x)在[0,2]上三阶可导,且g(0)=g(1)=g(2)=0,所以存在c
1
∈(0,1),c
2
∈(1,2),使得g
’
(c
1
)=g
’
(1)=g
’
(c
2
)=0,又存在d
1
∈(c
1
,1),d
2
∈(1,c
2
)使得g
’’
(d
1
)=g
’’
(d
2
)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(d
1
,d
2
)[*](0,2),使得g
’’’
(ξ)=0,而g
’’’
(x)=f
’’’
(x)一2,所以f
’’’
(ξ)=2. 方法二 由泰勒公式,得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BTr4777K
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考研数学一
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