设A是n阶矩阵，ξ1，ξ2，…，ξt是齐次方程组Aχ＝0的基础解系，若存在ηi使Aηi＝ξi，i＝1，2，…，t，证明向量组ξ1，ξ2，…，ξt，η1，η2，…，ηt线性无关．

admin2018-06-12 53

问题设A是n阶矩阵，ξ₁，ξ₂，…，ξ_t是齐次方程组Aχ＝0的基础解系，若存在η_i使Aη_i＝ξ_i，i＝1，2，…，t，证明向量组ξ₁，ξ₂，…，ξ_t，η₁，η₂，…，η_t线性无关．

选项

答案如果k₁ξ₁＋k₂ξ₂＋…＋k_tξ_t＋l₁η₁＋l₂η₂＋…＋l_tη_t＝0， ① 用A左乘上式，并把Aξ_i＝0，Aη_i＝ξ_i，i＝1，2，…，t代入，得 l₁ξ₁＋l₂ξ₂＋…l_tξ_t＝0． ② 因为ξ₁，ξ₂，…，ξ_t是Aχ＝0的基础解系，它们线性无关，故对②必有 l₁＝0，l₂＝0，…，l_t＝0．代入①式，有k₁ξ₁＋k₂ξ₂＋…＋k_tξ_t＝0．所以必有k₁＝0，k₂＝0，…，k_t＝0．即向量组ξ₁，ξ₂，…，ξ_t，η₁，η₂，…，η_t线性无关．

解析

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考研数学一

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设A是n阶矩阵，ξ1，ξ2，…，ξt是齐次方程组Aχ＝0的基础解系，若存在ηi使Aηi＝ξi，i＝1，2，…，t，证明向量组ξ1，ξ2，…，ξt，η1，η2，…，ηt线性无关．

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