[2014年] 设二次型f(x1,x2,x3)=x12一x22+2ax1x2+4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围为_________.

admin2019-05-10  38

问题 [2014年]  设二次型f(x1,x2,x3)=x12一x22+2ax1x2+4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围为_________.

选项

答案 可用配方法将所给的二次型化为仅出现一个系数为负的平方项之和,由其他项的系数的取值范围确定a的取值范围.也可用二次型矩阵的行列式与其特征值(惯性指数)的关系求之. 解一 用配方法将f(x1,x2,x3)化为 f(x1,x2,x3)=(x1+ax3)2一(x2—2x3)2+(4一a2)x32 由负惯性指数为1,得到4一a2≥0,即一2≤a≤2. 解二 易求得二次型f的矩阵为A=[*],设其三个特征值分别为λ1,λ2,λ3,则λ1,λ2,λ3=∣A∣=a2一4.因f的负惯性指数为l,所以A有且仅有一个特征值为负值.不妨设为λ1<0,则λ2≥0,λ3≥0,从而有∣A∣=a2一4≤0,即一2≤a≤2为所求的a的取值范围.

解析
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