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[2014年] 设二次型f(x1,x2,x3)=x12一x22+2ax1x2+4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围为_________.
[2014年] 设二次型f(x1,x2,x3)=x12一x22+2ax1x2+4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围为_________.
admin
2019-05-10
76
问题
[2014年] 设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
一x
2
2
+2ax
1
x
2
+4x
2
x
3
的负惯性指数是1,则a的取值范围为_________.
选项
答案
可用配方法将所给的二次型化为仅出现一个系数为负的平方项之和,由其他项的系数的取值范围确定a的取值范围.也可用二次型矩阵的行列式与其特征值(惯性指数)的关系求之. 解一 用配方法将f(x
1
,x
2
,x
3
)化为 f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
+ax
3
)
2
一(x
2
—2x
3
)
2
+(4一a
2
)x
3
2
由负惯性指数为1,得到4一a
2
≥0,即一2≤a≤2. 解二 易求得二次型f的矩阵为A=[*],设其三个特征值分别为λ
1
,λ
2
,λ
3
,则λ
1
,λ
2
,λ
3
=∣A∣=a
2
一4.因f的负惯性指数为l,所以A有且仅有一个特征值为负值.不妨设为λ
1
<0,则λ
2
≥0,λ
3
≥0,从而有∣A∣=a
2
一4≤0,即一2≤a≤2为所求的a的取值范围.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BVV4777K
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考研数学二
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