2. 考研
  3. [2014年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x2+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围为_________．

[2014年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x2+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围为_________．

admin2019-05-10  46
问题 [2014年]  设二次型f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x2+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围为_________．
选项
答案 可用配方法将所给的二次型化为仅出现一个系数为负的平方项之和，由其他项的系数的取值范围确定a的取值范围．也可用二次型矩阵的行列式与其特征值(惯性指数)的关系求之． 解一 用配方法将f(x1，x2，x3)化为 f(x1，x2，x3)=(x1+ax3)2一(x2—2x3)2+(4一a2)x32 由负惯性指数为1，得到4一a2≥0，即一2≤a≤2． 解二 易求得二次型f的矩阵为A=[*]，设其三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1，λ2，λ3=∣A∣=a2一4．因f的负惯性指数为l，所以A有且仅有一个特征值为负值．不妨设为λ1＜0，则λ2≥0，λ3≥0，从而有∣A∣=a2一4≤0，即一2≤a≤2为所求的a的取值范围．
解析
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考研数学二

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