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  3. (2005年)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )

(2005年)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )

admin2019-07-12  40
问题 (2005年)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有(    )
选项 A、F(x)是偶函数f(x)是奇函数
B、F(x)是奇函数f(x)是偶函数
C、F(x)是周期函数f(x)是周期函数
D、F(x)是单调函数f(x)是单调函数
答案A
解析 方法一：f(x)的原函数可以表示为如果F(x)为偶函数，则F(一x)=F(x)，等式两边同时求导可得一f(-x)=f(x)，可知f(x)为奇函数。
    如果f(x)为奇函数，对其作变量代换，令u=一t可得
   
    可知F(x)为偶函数。
    综上所述，选项A是正确的。
    方法二：举反例排除。令f(-x)=x2，F(x)=x3+1，可知f(x)为偶函数时，F(x)不一定为奇函数；令f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x，可知f(x)为周期函数时，F(x)不一定为周期函数；令f(x)=x，F(x)=x2，可知f(x)为单调函数时，F(x)不一定为单调函数。由此只有选项A是正确的。
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考研数学一

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