设f(x)是连续函数。当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数。

admin2018-12-29 79

问题设f(x)是连续函数。
当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫₀^xf(t)dt—x∫₀²f(t)dt也是以2为周期的周期函数。

选项

答案根据题设，有 G(x+2)=2∫₀^x+2f(t)dt—(x+2)∫₀²f(t)dt=2∫₀²f(t)dt+2∫₂^x+2f(t)dt—x∫₀²f(t)dt—2∫₀²f(t)dt，对于∫₂^x+2f(t)dt，作换元t=u+2，且f(u+2)=f(u)，则有 ∫₂^x+2f(t)dt=∫₀^xf(u+2)du=∫₀^xf(u)du=∫₀^xf(t)dt，因而 2∫₂^x+2f(t)dt=2∫₀^xf(t)dt，于是 G(x+2)=2∫₀^xf(t)dt—x∫₀²f(t)dt=G(x)。即G(x)=2∫₀^xf(t)dt—x∫₀²f(t)dt是以2为周期的周期函数。

解析

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