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设f(x)是连续函数。 当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数。
设f(x)是连续函数。 当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数。
admin
2018-12-29
44
问题
设f(x)是连续函数。
当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数G(x)=2∫
0
x
f(t)dt—x∫
0
2
f(t)dt也是以2为周期的周期函数。
选项
答案
根据题设,有 G(x+2)=2∫
0
x+2
f(t)dt—(x+2)∫
0
2
f(t)dt=2∫
0
2
f(t)dt+2∫
2
x+2
f(t)dt—x∫
0
2
f(t)dt—2∫
0
2
f(t)dt, 对于∫
2
x+2
f(t)dt,作换元t=u+2,且f(u+2)=f(u),则有 ∫
2
x+2
f(t)dt=∫
0
x
f(u+2)du=∫
0
x
f(u)du=∫
0
x
f(t)dt, 因而 2∫
2
x+2
f(t)dt=2∫
0
x
f(t)dt, 于是 G(x+2)=2∫
0
x
f(t)dt—x∫
0
2
f(t)dt=G(x)。 即G(x)=2∫
0
x
f(t)dt—x∫
0
2
f(t)dt是以2为周期的周期函数。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vTM4777K
0
考研数学一
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