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  3. 设f(x)是连续函数。 当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数。

设f(x)是连续函数。 当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数。

admin2018-12-29  105
问题 设f(x)是连续函数。
当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数。
选项
答案根据题设，有 G(x+2)=2∫0x+2f(t)dt—(x+2)∫02f(t)dt=2∫02f(t)dt+2∫2x+2f(t)dt—x∫02f(t)dt—2∫02f(t)dt， 对于∫2x+2f(t)dt，作换元t=u+2，且f(u+2)=f(u)，则有 ∫2x+2f(t)dt=∫0xf(u+2)du=∫0xf(u)du=∫0xf(t)dt， 因而 2∫2x+2f(t)dt=2∫0xf(t)dt， 于是 G(x+2)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt=G(x)。 即G(x)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt是以2为周期的周期函数。
解析
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考研数学一

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