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设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。
admin
2018-12-29
81
问题
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。
试证存在x
0
∈(0,1),使得在区间[0,x
0
]上以f(x
0
)为高的矩形面积等于在区间[x
0
,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。
选项
答案
本题可转化为证明x
0
f(x
0
)=∫
x
0
1
f(x)dx。令φ(x)= —x∫
x
1
f(t)dt,则φ(x)在闭区间[0,1]上是连续的,在开区间(0,1)上是可导的,又因为φ(0)=φ(1)=0,根据罗尔定理可知,存在x
0
∈(0,1),使得φ′(x
0
)=0,即 φ′(x
0
)=x
0
f(x
0
)—∫
x
0
1
f(t)dt=0, 也就是 x
0
f(x
0
)=∫
x
0
1
f(x)dx。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/STM4777K
0
考研数学一
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