2. 考研
  3. 设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。 试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。

设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。 试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。

admin2018-12-29  25
问题 设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。
试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。
选项
答案本题可转化为证明x0f(x0)=∫x01f(x)dx。令φ(x)= —x∫x1f(t)dt，则φ(x)在闭区间[0，1]上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理可知，存在x0∈(0，1)，使得φ′(x0)=0，即 φ′(x0)=x0f(x0)—∫x01f(t)dt=0， 也就是 x0f(x0)=∫x01f(x)dx。
解析
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考研数学一

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